1.4.1 平面向量基本定理（课件+学案+练习，共3份）湘教版（2019）必修第二册 第1章

1.4.1　平面向量基本定理 课标要求　理解平面向量基本定理及其意义，在平面内，当一组基选定后，会用这组基来表示其他向量. 【引入】 七个音符谱出千支乐曲，二十六个字母写就百态文章！ 在多样的平面向量中，我们能否找到它的“基本音符”呢？ 一、平面向量基本定理 探究1 如图，设e1，e2是同一平面内两个不共线的向量，a是这一平面内与e1，e2都不共线的向量. 请你将向量a分解成图中所给的两个方向上的向量. _____ _____ _____ _____ 探究2 上述问题中的分解方法是否唯一？为什么？ _____ _____ _____ _____ 【知识梳理】 1.平面向量基本定理 设e1，e2是平面上两个不共线向量，则 (1)平面上每个向量v都可以分解为e1，e2的实数倍之和，即v＝xe1＋ye2，其中x，y是实数. (2)实数x，y由v＝xe1＋ye2唯一决定.也就是：如果v＝xe1＋ye2＝x′e1＋y′e2，则x_____x′，y_____y′. 2.基：不共线向量e1，e2组成平面上的一组基{e1，e2}. 例1 若e1，e2是平面α内所有向量的一组基，λ，μ是实数，判断下列说法是否正确，并说明理由. (1)若λ，μ满足λe1＋μe2＝0，则λ＝μ＝0； (2)对于平面α内任意一个向量a，使得a＝λe1＋μe2成立的实数λ，μ有无数对； (3)线性组合λe1＋μe2可以表示平面α内的所有向量； (4)当λ，μ取不同的值时，向量λe1＋μe2可能表示同一向量. _____ _____ _____ _____ _____ _____ _____ _____ _____ _____ _____ _____ 思维升华　1.对于平面内任一向量都可以用两个不共线的向量来表示；反之，平面内的任一向量也可以分解成两个不共线的向量的和的形式. 2.向量的基是指平面内不共线的两个向量，事实上，若e1，e2是基，则必有e1≠0，e2≠0，且e1与e2不共线，如0与e1，e1与2e1，e1＋e2与2(e1＋e2)等均不能构成基. 训练1 设e1，e2是平面内所有向量的一组基，则下列四组向量中不能作为基的是(　　) A.e1＋e2和e1－e2 B.3e1－4e2和6e1－8e2 C.e1＋2e2和2e1＋e2 D.e1和e1＋e2 二、v在基{e1，e2}下的坐标 【知识梳理】 1.分解式v＝xe1＋ye2中的系数x，y组成的有序数组(_____)，称为v在这组基下的坐标. 2.取定了平面上一组基{e1，e2}之后，可以将平面上每个向量v用它在这组基下的坐标来表示，记为v＝(_____). 例2 (链接教材P23例1)如图，在平行四边形ABCD中，设对角线＝a，＝b，试用基{a，b}表示，，并写出它们在基下的坐标. _____ _____ _____ _____ _____ _____ _____ _____ _____ _____ _____ 思维升华　求向量a在基{e1，e2}下的坐标的步骤 第一步：利用平向向量基本定理将向量a分解为e1，e2的实数倍之和，即a＝xe1＋ye2； 第二步：将e1，e2的系数分别作为向量a的横、纵坐标，即可求出a在基{e1，e2}下的坐标. 训练2 如图所示，梯形ABCD中，AB∥CD，M，N分别是DA，BC的中点，且＝k，设＝e1，＝e2，试以{e1，e2}为基表示向量，，，并写出它们在该基下的坐标. _____ _____ _____ _____ _____ _____ _____ _____ 三、平面向量基本定理的应用 例3 如图，在△ABC中，点M是BC的中点，点N在AC上，且AN＝2NC，AM与BN相交于点P，求AP∶PM与BP∶PN的值. _____ _____ _____ _____ _____ _____ _____ _____ _____ 迁移1 在本例条件下，若＝a，＝b，试用a，b表示. _____ _____ _____ _____ _____ _____ _____ _____ _____ _____ _____ _____ 迁移2 若本例中的点N为AC的中点，其他条件不变，求AP∶PM与BP∶PN的值. _____ _____ _____ _____ _____ _____ _____ _____ _____ _____ _____ _____ _____ 思维升华　若直接利用基表示向量比较困难，可设出目标向量并建立其与基之间满足的关系式，然后利用已知条件及相关结论，从不同方向和角度表示出目标向量(一般需建立两个不同的向量表达式)，再根据待定系数法确定系数. 训练3 如图， ... ...