1.4.2 平面向量的正交分解与坐标表示、向量线性运算的坐标表示（课件+学案+练习，共3份）湘教版（2019）必修第二册 第1章

1.4.2　平面向量的正交分解与坐标表示、向量线性运算的坐标表示 课标要求　1.借助平面直角坐标系掌握平面向量的正交分解及坐标表示，会用坐标表示平面向量.2.掌握两个向量和、差及数乘向量的坐标运算法则.3.掌握向量共线的坐标表示. 【引入】 我们知道，在平面直角坐标系中，每一个点都可用一对有序实数(即它的坐标)表示.那么，如何用坐标表示直角坐标平面内的一个向量呢？ 一、平面向量的正交分解与坐标表示 探究1 如图，在光滑斜面上的一个木块受到了哪些力的作用？这些力之间有什么关系？ _____ _____ _____ _____ 探究2 如图，在平面直角坐标系中，设与x轴、y轴方向相同的两个单位向量分别为i，j，取{i，j}作为一组基.对于平面内的任意一个向量a，可以用{i，j}表示成什么？ _____ _____ _____ _____ 【知识梳理】 1.平面向量的正交分解 把一个向量分解为两个_____的向量叫作把向量正交分解. 2.标准正交基 平面上互相垂直的_____组成的基称为标准正交基，记作{i，j}.显然i＝(1，0)，j＝(0，1). 3.平面向量的坐标表示 设平面上建立了直角坐标系，则平面上每个向量v＝都可用从原点O出发的有向线段表示.原点O到E1(1，0)，E2(0，1)的向量e1＝，e2＝分别是x轴正方向和y轴正方向上的单位向量，组成标准正交基，则v＝＝xe1＋ye2的坐标(x，y)视为v在这组基下的坐标，等于向量终点P(x，y)的坐标. 4.设单位向量e1，e2的夹角〈e1，e2〉＝90°，非零向量v的模|v|＝r，且〈e1，v〉＝α，则v＝_____. 例1 (链接教材P27例6)如图，在平面直角坐标系xOy中，OA＝4，AB＝3，∠AOx＝45°，∠OAB＝105°，＝a，＝b，四边形OABC为平行四边形.求向量a，b的坐标. _____ _____ _____ _____ _____ _____ _____ _____ 思维升华　求向量a的坐标的步骤 第一步：取平面内的任意一组标准正交基{i，j}； 第二步：分别求向量a在基{i，j}方向上的分量x＝|a|cos θ，y＝|a|sin θ，其中θ为a与i的夹角； 第三步：写向量a的坐标，即a＝(|a|cos θ，|a|sin θ). 训练1 如图，分别取与x轴、y轴正方向相同的两个单位向量{i，j}作为一组基，若|a|＝，θ＝45°，则向量a的坐标为(　　) A.(1, 1) B.(－1，－1) C.(，) D.(－，－) _____ _____ _____ _____ 二、向量线性运算的坐标表示 探究3 已知a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，你能得出a＋b，a－b的坐标吗？ _____ _____ _____ _____ 探究4 如图，已知A(x1，y1)，B(x2，y2)，怎样求的坐标？ _____ _____ _____ _____ 【知识梳理】 向量线性运算的坐标表示 (1)两个向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)的和(或差)的坐标等于这两个向量相应坐标的_____， 即a±b＝(x1，y1)±(x2，y2)＝_____. (2)一个实数λ与向量a＝(x，y)的积的坐标等于这个数_____向量相应的坐标，即λa＝λ(x，y)＝_____. (3)有向线段的坐标表示：在平面直角坐标系中，向量的坐标等于终点Q的坐标(x2，y2)减去起点P的坐标(x1，y1)，即＝_____. 例2 (1)已知向量a，b的坐标分别是(－1，2)，(3，－5)，求a＋b，a－b，3a，2a＋3b的坐标； (2)已知A(－2，4)，B(3，－1)，C(－3，－4)，且＝3，＝2，求M，N及的坐标. _____ _____ _____ _____ _____ _____ _____ _____ _____ 思维升华　平面向量坐标运算的技巧 (1)进行平面向量坐标运算前，先要分清向量坐标与向量起点、终点的关系. (2)在进行平面向量的坐标运算时，应先将平面向量用坐标的形式表示出来，再根据向量的坐标运算法则进行计算. (3)在向量的运算中要注意待定系数法、方程思想和数形结合思想的运用. 训练2 已知A(－2，4)，B(3，－1)，C(－3，－4).设＝a，＝b，＝c. (1)求3a＋b－3c； (2)(链接教材P30T7)求满足a＝mb＋nc的实数m，n的值. _____ _____ _____ _____ _____ _____ _____ _____ _____ 三、向量共线的 ... ...