2.2.2 二倍角的三角函数及其应用（课件+学案+练习，共3份）湘教版（2019）必修第二册 第2章

2.2.2　二倍角的三角函数及其应用 课标要求　1.能利用二倍角公式对三角函数式进行化简、求值.2.能够利用二倍角公式解决几何中的问题以及生活中的实际问题. 【引入】 上节课我们学习了二倍角的正弦、余弦、正切公式，知道了其简单的应用.这节课我们将对该知识进行深化，明确其在生产实际中的应用及与两角和与差的三角函数的综合应用.让我们一起来学习吧！ 一、二倍角公式的综合应用 例1 (1)函数f(x)＝的最小正周期为(　　) A. B. C.π D.2π (2)已知函数f(x)＝2cos2x－sin2x＋2，则(　　) A.f(x)的最小正周期为π，最大值为3 B.f(x)的最小正周期为π，最大值为4 C.f(x)的最小正周期为2π，最大值为3 D.f(x)的最小正周期为2π，最大值为4 _____ _____ _____ _____ _____ _____ 思维升华　求解此类问题的关键是熟练应用二倍角公式，化简原函数，其中当代数式中出现sin2x，cos2x时要想到对代数式“降幂”，即sin2x＝，cos2x＝. 训练1 函数f(x)＝sin－3cos x的最小值为_____. 二、二倍角公式同其他三角函数公式的综合应用 例2 已知cos＝，≤α＜，求cos的值. _____ _____ _____ _____ _____ _____ 思维升华　注意几种公式的灵活应用，如： (1)sin 2x＝cos＝cos ＝2cos2－1＝1－2sin2； (2)cos 2x＝sin＝sin ＝2sincos. 训练2 已知x∈，sin＝－，求cos 2x的值. _____ _____ _____ _____ _____ _____ _____ _____ 三、二倍角的三角函数在几何中的应用 例3 (链接教材P80例6)某工人要从一块圆心角为45°的扇形木板中割出一块一边在半径上的内接长方形桌面，若扇形的半径长为1 m，求割出的长方形桌面的最大面积(如图). _____ _____ _____ _____ _____ _____ _____ _____ _____ 思维升华　三角函数与平面几何有着密切联系，几何中的角度、长度、面积等问题，常借助三角变换来解决，体现了数学中的化归思想. 训练3 如图所示，要把半径为R的半圆形木料截成长方形，应怎样截取，才能使△OAB的周长最长？ _____ _____ _____ _____ _____ _____ _____ _____ _____ _____ 【课堂达标】 1.化简等于(　　) A.1 B.2 C. D.－1 2.若sin＝，则sin 2θ等于(　　) A. B. C. D.± 3.已知函数f(x)＝sincos，则f(x)的值域为_____. 4.如图，扇形OAB的半径为1，圆心角为，若P为上异于A，B的点，且PQ⊥OB交OB于点Q，当△POQ的面积大于时，∠POQ的取值范围为_____. 2.2.2　二倍角的三角函数及其应用 例1　(1)C　(2)B　[(1)f(x)＝＝＝＝sin xcos x ＝sin 2x， 所以f(x)的最小正周期T＝＝π. (2)易知f(x)＝2cos2x－sin2x＋2＝3cos2x＋1＝(2cos2x－1)＋＋1＝cos 2x＋， 则f(x)的最小正周期为π，当x＝kπ(k∈Z)时，f(x)取得最大值，最大值为4.] 训练1　－4　[f(x)＝sin－3cos x＝－cos 2x－3cos x＝1－2cos2x－3cos x ＝－2＋， 因为cos x∈[－1，1]，所以当cos x＝1时， f(x)取得最小值，f(x)min＝－4.] 例2　解　∵≤α＜，∴≤α＋＜. ∵cos＝＞0，∴＜α＋＜. ∴sin＝－ ＝－＝－. ∴cos 2α＝sin ＝2sincos ＝2××＝－， sin 2α＝－cos＝1－2cos2 ＝1－2×＝. ∴cos＝cos 2α－sin 2α ＝×＝－. 训练2　解　法一　因为sin＝－， 所以cos x－sin x＝－， 将此式两边平方得2sin xcos x＝. 由此可得(cos x＋sin x)2＝. 因为x∈，所以sin x＞0，cos x＞0. 所以cos x＋sin x＝. 故cos 2x＝cos2x－sin2x＝(cos x＋sin x)(cos x－sin x)＝×＝－. 法二　因为sin＝－， x∈， 所以－x∈，cos＝. cos 2x＝sin＝sin ＝2sincos ＝2××＝－. 例3　解　如图， 连接OC， 设∠COB＝θ， 则0°＜θ＜45°，OC＝1. 因为AB＝OB－OA＝cos θ－AD＝cos θ－sin θ， 所以S矩形ABCD＝AB·BC＝(cos θ－sin θ)·sin θ＝－sin2θ＋sin θcos θ＝－(1－cos 2θ)＋sin 2θ＝(sin ... ...