2.3.1 半角公式（课件+学案+练习，共3份）湘教版（2019）必修第二册 第2章

2.3.1　半角公式 课标要求　1.能用二倍角公式导出半角公式，体会其中的三角恒等变换的基本思想.2.能利用三角恒等变换对三角函数式化简、求值和证明. 【引入】 同学们，前面我们学习了三角函数中的很多公式，有同角的三角函数的基本关系、诱导公式、两角和与差的正弦、余弦、正切公式以及二倍角的正弦、余弦、正切公式，它们都属于三角变换.对于三角变换，我们不仅要考虑三角函数式结构形式方面的差异，还要考虑三角函数式包含的角，以及这些角的三角函数种类方面的差异，它是一种立体的综合性变换，在实际操作中，我们要从函数式的结构、种类、角与角之间的联系等方面找一个切入点，从而选择一个合适的公式进行化简、求值、证明等，这就是我们今天要讲的三角恒等变换. 一、半角公式 探究1 余弦的二倍角展开有几种形式？请写出. _____ _____ 【知识梳理】 半角公式 sin＝_____.① cos＝_____.② tan＝_____(无理形式).③ tan＝＝_____(有理形式). 上面①②③公式统称为半角公式，分别简记为S，C，T.半角公式的符号需要根据角所在的象限来判断. 温馨提示　求tan 常用上面的有理形式. 例1 (链接教材P84例1)已知cos α＝，α为第四象限角，求sin ，cos ，tan . _____ _____ _____ _____ _____ _____ 思维升华　利用半角公式求值的思路 (1)观察角：若已知三角函数式中的角是待求三角函数式中角的两倍，则求解时常常借助半角公式求解. (2)明范围：由于半角公式求值常涉及符号问题，因此求解时务必依据角的范围，求出相应半角的范围. (3)选公式：涉及半角公式的正切值时，常用tan＝＝，其优点是计算时可避免因开方带来的求角的范围问题；涉及半角公式的正、余弦值时，常先利用sin2＝，cos2＝计算. 训练1 已知sin θ＝－，3π<θ<π，则tan的值为(　　) A.3 B.－3 C. D.－ 二、万能公式 探究2 能否用tan α表示sin 2α，cos 2α？试给出推导过程. _____ _____ _____ 【知识梳理】 万能公式 sin α＝④ cos α＝.⑤ tan α＝.⑥ 角α(α≠2kπ＋π，k∈Z)的所有三角函数值都可以用tan 来表示，这组公式④～⑥简称为“万能公式”. 例2 (链接教材P85T3)已知sin α＝3cos α，求sin 2α，cos 2α和tan 2α的值. _____ _____ _____ _____ _____ _____ _____ _____ _____ 思维升华　万能公式的优点：只要求出某一个角的半角的正切值，就可以求出该角的任一个三角函数值.因此灵活应用万能公式解答三角函数的化简求值，更加方便、快捷. 训练2 已知＝－，求sin的值. _____ _____ _____ _____ _____ _____ _____ _____ _____ 三、三角恒等式的证明 例3 (链接教材P85例3)证明：＝. _____ _____ _____ _____ _____ _____ _____ _____ _____ _____ 思维升华　探究证明三角恒等式的原则与步骤 (1)观察恒等式的两端的结构形式，处理原则是从复杂到简单，高次降低次，复角化单角，如果两端都比较复杂，就将两端都化简，即采用“两头凑”的思想. (2)证明恒等式的一般步骤： ①先观察，找出角、函数名称、式子结构等方面的差异； ②本着“复角化单角”“异名化同名”“变换式子结构”“变量集中”等原则，设法消除差异，达到证明的目的. 训练3 求证：－tan θ·tan 2θ＝1. _____ _____ _____ _____ _____ _____ _____ _____ _____ 【课堂达标】 1.若cos 2α＝－，且α∈，则sin α＝(　　) A.　　 B.　　 C.　　 D.－ 2.若tan α＝3，则sin 2α等于(　　) A. B.－ C.－ D. 3.化简·的结果为_____. 4.若sin α＝，α∈，则tan ＝_____. 2.3.1　半角公式 探究1　提示　三种形式：cos 2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α. 知识梳理 ±　±　± 例1　解　∵α为第四象限角， ∴为第二、四象限角. 当为第二象限角时， sin＝＝， cos＝－＝－， tan ... ...