7.2 实际问题中的最值问题 同步练习 (原卷版+解析版)

7．2　实际问题中的最值问题 一、单项选择题 1．已知某生产厂家的年利润y(单位：万元)与年产量x(单位：万件)的函数关系式为y＝－x3＋81x－234，则使该生产厂家获取最大年利润的年产量为(　C　) A．13万件 B．11万件 C．9万件 D．7万件 解析：∵y＝－x3＋81x－234(x＞0)， ∴y′＝－x2＋81(x>0). 令y′＝0，得x＝9或x＝－9(舍去)， 令y′<0，得x>9， 令y′>0，得00. 所以ω(v)在[18，30]上单调递增， 所以当v＝18时，ω(v)取得最小值． 3．已知某商品的进价为4元，通过多日的市场调查，该商品的市场销量y(件)与商品售价x(元)的关系式为y＝e－x，则当此商品的利润最大时，该商品的售价x(元)为(　A　) A．5 B．6 C．7 D．8 解析：根据题意可得利润函数f(x)＝(x－4)e－x，f′(x)＝e－x－(x－4)·e－x＝(5－x)e－x，当x>5时，f′(x)<0，f(x)单调递减，当00，f(x)单调递增，所以当x＝5时，函数f(x)取最大值．故选A. 4．某莲藕种植塘每年的固定成本是2万元，每年最大规模的种植量是10万千克，每种植1万千克莲藕，成本增加1万元．销售额y(单位：万元)与莲藕种植量x(单位：万千克)满足y＝－x3＋ax2＋x(a为常数)，若种植3万千克，销售利润是 万元，则要使销售利润最大，每年需种植莲藕(　B　) A．6万千克 B．8万千克 C．7万千克 D．9万千克 解析：设当莲藕种植量为x万千克时，销售利润为g(x)万元，则g(x)＝－x3＋ax2＋x－2－x＝－x3＋ax2－2(00，当x∈(8，10)时，g′(x)<0，所以g(x)在(0，8)上单调递增，在(8，10)上单调递减，所以当x＝8时，g(x)取得最大值，故要使销售利润最大，每年需种植莲藕8万千克．故选B. 5. 一窗户的上部是半圆，下部是矩形，大致图形如图所示，如果窗户的面积为S，为使窗户的周长最小，则半圆的半径应为(　C　) A． B． C． D．2 解析：设窗户的周长为L，半圆的半径为x，矩形的高为h，则窗户的面积S＝x2＋2hx，所以h＝－x(x>0)，所以窗户的周长L＝πx＋2x＋2h＝＋2x＋x，所以L′＝2＋－.令L′＝0，得x＝，所以当x∈(0，)时，L′<0；当x∈(，＋∞)时，L′>0.所以当x＝时，L取得最小值．故选C. 6. 某校为弘扬中华传统中医药文化，在一块边长为30 m的正方形空地中开辟出如图所示的总面积为750 m2的矩形中药园．图中阴影部分是宽度为1 m的小路，中间三个矩形区域将分别种植益母草、板蓝根、苦参(其中两个小矩形区域形状、大小相同).若中药种植的总面积为S m2，当S取得最大值时，x的值为(　C　) A．15 B．20 C．25 D．30 解析：由题意知00，S单调递增，当25