3.1 复数的概念 课标要求 通过方程的解，了解引进复数的必要性，认识复数，理解复数的基本概念及复数相等的充要条件. 【引入】 1545年，意大利数学家、物理学家卡尔丹在其所著《重要的艺术》一书中提出将10分成两部分，使其积为40的问题，即求方程x(10－x)＝40的根，他求出的根为5＋和5－，积为25－(－15)＝40.由于这只是单纯从形式上推广而来，并且人们原先就已断言负数开平方是没有意义的.这样的结果令他大为不解，甚至感到有些恐慌.负数真的不能开平方吗？ 一、复数的概念 探究 我们知道，方程x2＋1＝0在实数集中无解，联系从自然数集到实数集的扩充过程，你能给出一种方法，适当扩充实数集，使这个方程有解吗？ _____ _____ _____ 【知识梳理】 复数 (1)定义：把形如_____(其中a，b∈R)的数称为复数，其中a称为复数a＋bi的实部，b称为复数a＋bi的虚部，i称为虚数单位. (2)表示：复数通常用字母z表示，即z＝a＋bi(a，b∈R)，这一表示形式称为复数的代数形式，一般将复数z的实部记作Re z，虚部记作Im z. 习惯上用C表示全体复数组成的集合(称为复数集)，于是C＝{a＋bi|a，b∈R}. 温馨提示 (1)i2＝－1. (2)虚部是复数代数形式中i的实数系数，不含i. (3)a，b∈R. 例1 (链接教材P102例1)写出下列复数的实部和虚部，并判断它们是实数，虚数，还是纯虚数. (1)2＋3i；(2)－3＋i；(3)＋i；(4)π；(5)－i；(6)0. _____ _____ _____ _____ _____ _____ _____ _____ _____ _____ _____ _____ _____ _____ 思维升华 复数a＋bi(a，b∈R)中，实数a和b分别为复数的实部和虚部.特别注意，b为复数的虚部而不是虚部的系数，b连同它的符号叫做复数的虚部. 训练1 若复数2－bi(b∈R)的实部与虚部互为相反数，则b的值为( ) A.2 B. C.－ D.－2 二、复数的分类 【知识梳理】 复数的分类 复数z＝a＋bi 例2 (链接教材P102例2)实数m取什么值时，复数z＝＋(m2－2m)i分别是：(1)实数；(2)虚数；(3)纯虚数？ _____ _____ _____ _____ _____ _____ _____ _____ 思维升华 求解复数分类问题的关键 (1)复数z＝a＋bi(a，b∈R)为纯虚数的充要条件是a＝0且b≠0. (2)复数z＝a＋bi(a，b∈R)为实数的充要条件是b＝0. (3)复数z＝a＋bi(a，b∈R)为虚数的充要条件是b≠0. 依据复数的类型求参数时要先确定使代数式有意义的参数的取值.再结合以上结论求解. 训练2 (1)已知复数z＝a＋(a2－1)i是实数，则实数a的值为_____； (2)若复数z＝sin 2α－(1－cos 2α)i是纯虚数，则α＝_____. 三、两个复数相等的充要条件 【知识梳理】 若两个复数a＋bi，c＋di(a，b，c，d∈R)的实部与虚部分别相等，则称这两个复数相等，即a＋bi＝c＋di a＝c且b＝d.特别地，a＋bi＝0 a＝0且b＝0. 温馨提示 当两个复数不全是实数时，它们之间不能比较大小，若两个复数可以比较大小，则这两个复数必定都是实数. 例3 (链接教材P103例3)(1)已知x2－y2＋2xyi＝2i，求实数x，y的值. (2)已知M＝{1，(m2－2m)＋(m2＋m－2)i}，P＝{－1，1，4i}，若M∪P＝P，求实数m的值. _____ _____ _____ _____ _____ _____ 思维升华 求解复数相等问题基本思路是： (1)等式两边整理为a＋bi(a，b∈R)的形式； (2)由复数相等的充要条件可以得到由两个等式所组成的方程组； (3)解方程组，求出相应的参数. 训练3 关于x的方程3x－－1＝(10－x)i有实根，求实数a的值. _____ _____ _____ _____ _____ _____ 【课堂达标】 1.在2＋，i，8＋5i，(1－)i，0.68这几个数中，纯虚数的个数为( ) A.0 B.1 C.2 D.3 2.已知复数z＝a2－(2－b)i的实部和虚部分别是2和3，则实数a，b的值分别是( ) A.，1 B.，5 C.±，5 D.±，1 3.z1＝(m2＋m＋1)＋(m2＋m－4)i，m∈R，z2＝3－2i，则“m＝1”是“z1＝z2”的( ) A.充分不必要条件 ... ...
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