*3.4 复数的三角表示 课标要求 1.了解复数的三角形式、代数形式与三角形式之间的关系及三角形式的乘、除及乘方运算.2.掌握复数的代数形式与三角形式的互化，了解辐角. 【引入】 我们知道，复数可以用a＋bi(a，b∈R)的形式来表示，复数a＋bi与复平面内的点Z(a，b)一一对应，与平面向量＝(a，b)也是一一对应的，你能用向量的模r和以x轴的非负半轴为始边，以向量所在射线(射线OZ)为终边的角θ来表示复数z吗？ 一、复数的三角表示式 探究1 我们知道复数z＝a＋bi可以由向量在两坐标轴方向上的投影a，b来确定，是否可以由其他元素来确定？ _____ _____ _____ _____ _____ 【知识梳理】 1.复数的三角形式 如图，将任意复数z＝a＋bi(a，b∈R)在复平面内对应的向量用表示，则||＝r＝，以x轴的正半轴为始边，以OP为终边的角θ称为复数z＝a＋bi的辐角，记作arg z＝θ，r(cos θ＋isin θ)叫做复数z＝a＋bi(a，b∈R)的三角表示式，简称_____.为了与三角形式区分开来，a＋bi(a，b∈R)叫做复数的代数表示式，简称_____. 2.辐角的主值 规定在_____范围内的辐角θ的值为辐角的主值，若θ是z的辐角主值，则z的全部辐角arg z＝θ＋2kπ(k∈Z). 温馨提示 复数的三角形式需满足： (1)模r≥0. (2)括号内需满足：前余弦，后正弦，角相同. (3)cos θ与isin θ之间用加号相连. 记忆口诀：“模非负、余正弦、＋相连、角统一、i跟sin”.不符合条件的都不是三角形式. 例1 (1)(链接教材P120例5)复数z＝1＋i的三角形式为z＝_____. (2)复数6的代数形式为_____. _____ _____ _____ _____ _____ _____ _____ _____ _____ _____ _____ _____ _____ 思维升华 1.代数形式化为三角形式的步骤： (1)先求复数的模r＝|z|，(2)确定Z(a，b)所在的象限，(3)根据象限求出辐角，(4)写出复数三角形式. 2.三角形式中的辐角，不一定是辐角主值，但为使表达式简单，常取辐角主值. 3.三角形式化为代数形式，直接计算三角函数值即可. 训练1 把下列复数的三角形式化成代数形式，或代数形式化为三角形式. (1)z1＝3； (2)z2＝6； (3)z3＝5；(4)z4＝＋i. _____ _____ _____ _____ _____ _____ _____ _____ _____ _____ _____ _____ _____ _____ _____ _____ _____ _____ _____ _____ _____ 二、复数三角形式的乘法法则 探究2 根据复数乘法定义，两复数z1＝r1(cos θ1＋isin θ1)和z2＝r2(cos θ2＋isin θ2)相乘的结果是什么呢？ _____ _____ _____ _____ 【知识梳理】 复数三角形式的乘法法则 两个复数乘积的模等于它们的模的_____，乘积的辐角等于它们的辐角之_____. z1·z2＝r1(cos θ1＋isin θ1)·r2(cos θ2＋isin θ2)＝_____. 温馨提示 复数三角形式的乘法法则成立的前提是两个复数都是三角形式，如果不是三角形式，要先化成三角形式再运算，辐角不要求一定是主值. 例2 (链接教材P122T2)计算： (1)2×； (2)2(cos 5°＋isin 5°)×4(cos 30°＋isin 30°)×(cos 25°＋isin 25°). _____ _____ _____ _____ _____ _____ _____ _____ 思维升华 直接利用复数三角形式的乘法运算法则进行运算，即两个复数相乘，所得的结果是模相乘，辐角相加. 训练2 计算：(＋i)(cos 60°＋isin 60°)＝_____. 三、复数三角形式的除法法则 探究3 根据复数除法定义，两复数z1＝r1(cos θ1＋isin θ1)和z2＝r2(cos θ2＋isin θ2)(z2≠0)相除的结果是什么呢？ _____ _____ _____ _____ _____ _____ 【知识梳理】 两复数三角形式的除法法则 两个复数相除(除数不为0)，商的模等于它们的模的商，商的辐角等于它们的辐角之差. ＝_____. 温馨提示 (1)复数三角形式的除法法则成立的前提是两个复数都是三角形式，如果不是三角形式，要先化成三角形式，再运算. (2)两个复数三角形式除法的法则可简记 ... ...
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