课标要求 1.了解数学归纳法的原理. 2.能用数学归纳法证明数列中的一些简单命题. 【知识梳理】 1.数学归纳法的定义 在证明一个与正整数有关的命题时，可采用下面两个步骤： (1)证明_____时命题成立； (2)假设_____时命题成立，证明n＝k＋1时命题也成立. 只要完成这两个步骤，就可以知道对任何从_____开始的正整数n，命题成立.这种证明方法叫作数学归纳法. 2.数学归纳法中的两个步骤之间的关系 记P(n)是一个关于正整数n的命题.可以把用数学归纳法证明的形式改写如下： 条件：(1)P(n0)为真；(2)若_____为真，则_____也为真，结论：P(n)为真. (1)第一步验证(或证明)了当n＝n0时结论成立，即命题_____为真； (2)第二步是证明一种递推关系，实际上是要证明一个新命题：_____. 只要将两步交替使用，就有P(n0)为真，P(n0＋1)真，……P(k)真，P(k＋1)真…….从而完成证明. 温馨提醒 利用数学归纳法的注意点 (1)验证是基础：找准起点，奠基要稳，有些问题中验证的初始值不一定为1； (2)递推是关键：正确分析由n＝k到n＝k＋1时，式子项数的变化是应用数学归纳法成功证明问题的保障； (3)利用假设是核心：在第二步证明中一定要利用归纳假设，这是数学归纳法证明的核心环节，否则这样的证明就不是数学归纳法证明. 【自测检验】 1.思考辨析，判断正误 (1)与正整数n有关的数学命题的证明只能用数学归纳法.( ) (2)在利用数学归纳法证明问题时，只要推理过程正确，也可以不用归纳假设.( ) (3)用数学归纳法证明等式时，由n＝k到n＝k＋1，等式的项数不一定增加了一项.( ) 2.在应用数学归纳法证明凸n边形的对角线为n(n－3)条时，第一步应验证n等于( ) A.1 B.2 C.3 D.4 3.用数学归纳法证明1＋＋＋…＋1)时，第一步应验证不等式( ) A.1＋<2 B.1＋＋<2 C.1＋＋<3 D.1＋＋＋<3 4.用数学归纳法证明1＋2＋22＋…＋2n－1＝2n－1(n∈N＋)的过程如下： (1)当n＝1时，左边＝1，右边＝21－1＝1，等式成立. (2)假设当n＝k(k∈N＋)时等式成立，即1＋2＋22＋…＋2k－1＝2k－1，则当n＝k＋1时，1＋2＋22＋…＋2k－1＋2k＝＝2k＋1－1.所以当n＝k＋1时等式也成立.由此可知对于任何n∈N＋，等式都成立. 上述证明，错误是_____. 题型一 用数学归纳法证明等式 例1 用数学归纳法证明：1×22＋2×32＋3×42＋…＋n(n＋1)2＝(3n2＋11n＋10)，其中n∈N＋. 思维升华 用数学归纳法证明等式时，一是弄清n取第一个值n0时等式两端项的情况；二是弄清从n＝k到n＝k＋1等式两端的项是如何变化的，即增加了哪些项，减少了哪些项；三是证明n＝k＋1时结论也成立，要设法将待证式与归纳假设建立联系，并向n＝k＋1时证明目标的表达式进行变形. 训练1 用数学归纳法证明：1＋3×2＋5×22＋…＋(2n－1)×2n－1＝2n(2n－3)＋3(n∈N＋). ... ...
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