培优点 数列通项的求法 求数列的通项公式多以小题的形式出现，但也可作为解答题，主要考查利用累加法、累乘法、公式法等求数列的通项公式，利用通项公式求数列中的项、公差、公比等，试题较灵活. 类型一 利用an与Sn的关系求通项 例1 (1)已知Sn为数列{an}的前n项和，且log2(Sn＋1)＝n＋1，则数列{an}的通项公式为_____. (2)已知数列{an}的各项均为正数，Sn为其前n项和，且对任意n∈N＋，均有an，Sn，a成等差数列，则an＝_____. 类型二 利用递推关系求通项 例2 (1)数列{an}满足a1＝1，对任意的n∈N＋都有an＋1＝a1＋an＋n，求数列{an}的通项公式； (2)在数列{an}中，a1＝1，an＝an－1(n≥2)，求数列{an}的通项公式； (3)在数列{an}中a1＝1，an＋1＝3an＋2，求数列{an}的通项公式； (4)已知数列{an}中，a1＝1，an＋1＝，求数列{an}的通项公式. 培优点 数列通项的求法 例1 (1)an＝ (2)n [(1)由log2(Sn＋1)＝n＋1，得Sn＋1＝2n＋1， 当n＝1时，a1＝S1＝3； 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n， 所以数列{an}的通项公式为an＝ (2)∵an，Sn，a成等差数列， ∴2Sn＝an＋a. 当n＝1时，2S1＝2a1＝a1＋a. 又a1>0，∴a1＝1. 当n≥2时，2an＝2(Sn－Sn－1)＝an＋a－an－1－a，∴(a－a)－(an＋an－1)＝0. ∴(an＋an－1)(an－an－1)－(an＋an－1)＝0， ∴(an＋an－1)(an－an－1－1)＝0， ∵an＋an－1>0，∴an－an－1＝1， ∴{an}是以1为首项，1为公差的等差数列， ∴an＝n(n∈N＋).] 例2 解 (1)∵an＋1＝an＋n＋1，∴an＋1－an＝n＋1，即a2－a1＝2，a3－a2＝3，…，an－an－1＝n(n≥2). 等式两边同时相加得an－a1＝2＋3＋4＋…＋n(n≥2)， 即an＝a1＋2＋3＋4＋…＋n＝1＋2＋3＋4＋…＋n＝，n≥2. 又a1＝1也适合上式， ∴an＝，n∈N＋. (2)因为an＝an－1(n≥2)， 所以an－1＝an－2，an－2＝an－3，…，a2＝a1. 以上(n－1)个式子，累乘得an＝a1···…·＝＝(n≥2). 又a1＝1符合上式，∴an＝. (3)因为an＋1＝3an＋2， 所以an＋1＋1＝3(an＋1)， 所以＝3，所以数列{an＋1}为等比数列，公比q ＝3，又a1＋1＝2， 所以an＋1＝2·3n－1， 所以an＝2·3n－1－1. (4)∵an＋1＝，a1＝1，∴an≠0， ∴＝＋，即－＝， 又a1＝1，则＝1， ∴是以1为首项，为公差的等差数列， ∴＝＋(n－1)×＝＋， ∴an＝(n∈N＋).(
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