中小学教育资源及组卷应用平台 2025年九年级数学中考三轮冲刺训练圆中相似三角形专题训练 1．如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠ABC＝90°，BD是⊙O的直径，作直线BE，使∠ABE＝∠C，并与DA的延长线交于点E． （1）求证：BE是⊙O的切线； （2）当AB＝16，BC＝12时，求DE的长． 2．如图，AB是⊙O的直径，△ACD内接于⊙O，，AB，CD的延长线相交于点E，且DE＝AD． （1）求证：△CAD∽△CEA； （2）求∠ADC的度数． 3．如图，在△ABC中，点D在AC上，连接BD，以BD为直径作⊙O，⊙O经过点A，与BC交于点E，且． （1）若∠C＝40°，求∠AEC的度数； （2）若AB＝6，AD＝3，求CE的长． 4．如图，点C在以AB为直径的⊙O上，过点C作⊙O的切线l，过点A作AD⊥l，垂足为D，连接AC、BC． （1）求证：△ABC∽△ACD； （2）若AC＝5，CD＝4，求⊙O的半径． 5．如图，△ABC内接于⊙O，点D为的中点，连接AD、BD，BE平分∠ABC交AD于点E，过点D作DF∥BC交AC的延长线于点F． （1）求证：DF是⊙O的切线． （2）求证：BD＝ED． （3）若DE＝5，CF＝4，求AB的长． 6．如图，在⊙O中，AB是⊙O的直径，弦CD交AB于点E，． （1）求证：△ACD∽△ECB； （2）若AC＝3，BC＝1，求CE的长． 7．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，D为斜边AB上一点，以BD为直径作⊙O，交AC于E，F两点，连接BE，BF，DF． （1）求证：BC DF＝BF CE； （2）若∠A＝∠CBF，tan∠BFC，AF＝4，求CF的长和⊙O的直径． 8．如图，BC是⊙O的直径，A是⊙O上异于B、C的点．⊙O外的点E在射线CB上，直线EA与CD垂直，垂足为D，且DA AC＝DC AB．设△ABE的面积为S1，△ACD的面积为S2． （1）判断直线EA与⊙O的位置关系，并证明你的结论； （2）若BC＝BE，S2＝mS1，求常数m的值． 9．如图，△ABC是⊙O的内接三角形，AB是⊙O的直径，AC，BC＝2，点F在AB上，连接CF并延长，交⊙O于点D，连接BD，作BE⊥CD，垂足为E． （1）求证：△DBE∽△ABC； （2）若AF＝2，求ED的长． 10．如图，点D，E在以AC为直径的⊙O上，∠ADC的平分线交⊙O于点B，连接BA，EC，EA，过点E作EH⊥AC，垂足为H，交AD于点F． （1）求证：AE2＝AF AD； （2）若sin∠ABD，AB＝5，求AD的长． 11．如图，AB是⊙O的直径，AM是⊙O的切线，AC、CD是⊙O的弦，且CD⊥AB，垂足为E，连接BD并延长，交AM于点P． （1）求证：∠CAB＝∠APB； （2）若⊙O的半径r＝5，AC＝8，求线段PD的长． 12．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°， ODEF的顶点O，D在斜边AB上，顶点E，F分别在边BC，AC上，以点O为圆心，OA长为半径的⊙O恰好经过点D和点E． （1）求证：BC与⊙O相切； （2）若sin∠BAC，CE＝6，求OF的长． 13．如图，四边形ABCD内接于圆O，AB是直径，点C是的中点，延长AD交BC的延长线于点E． （1）求证：CE＝CD； （2）若AB＝3，BC，求AD的长． 14．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以AC为直径的⊙O交AB于点D，点E是边BC的中点，连结DE． （1）求证：DE是⊙O的切线； （2）若AD＝4，BD＝9，求⊙O的半径． 15．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，D是AB边上一点，以BD为直径的⊙O与AC相切于点E，连接DE并延长交BC的延长线于点F． （1）求证：BF＝BD； （2）若CF＝1，tan∠EDB＝2，求⊙O的直径． 参考答案 1．【解答】（1）证明：∵BD是⊙O的直径， ∴∠BAD＝90°， ∴∠D+∠ABD＝90°， ∵， ∴∠D＝∠C， ∴∠C+∠ABD＝90°， ∵∠ABE＝∠C， ∴∠ABE+∠ABD＝90°， 即∠EBD＝90°， ∵BD是⊙O的直径， ∴BE是⊙O的切线； （2）解：在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝16，BC＝12， 由勾股定理得，， ∵∠ABC＝90°， ∴AC为⊙O的直径， ∵BD是⊙O的直径， ∴BD＝AC＝20，∠BAD＝90°， 由勾股定理得，AD， 由（1）知∠EBD＝90°， ∴∠EBD＝∠BAD＝90°， 又∵∠D为公共角， ∴△BDA∽ ... ...
