安徽省宣城市2024-2025学年高二上学期期末调研测试数学试题 第I卷（选择题） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.在空间直角坐标系中，已知空间向量，，若，则( ) A. B. C. D. 2.已知点，在直线上运动，且，点在圆上，则面积的最大值为( ) A. B. C. D. 3.在空间直角坐标系中，已知空间向量，，则向量在向量方向上的投影向量为( ) A. B. C. D. 4.在平行六面体中，若，，，则的长度为( ) A. B. C. D. 5.已知正三棱台的体积为，，，则直线与平面所成角的正切值为( ) A. B. C. D. 6.已知数列是递增数列，且，则的取值范围是( ) A. B. C. D. 7.关于椭圆有如下结论：“过椭圆上一点作该椭圆的切线，切线方程为”设椭圆的右焦点为，左顶点为，过且垂直于轴的直线与的一个交点为，过作椭圆的切线，若切线与直线的倾斜角互补，则的离心率为( ) A. B. C. D. 8.已知双曲线的左焦点为，过点的直线垂直于双曲线的一条渐近线，并分别交两条渐近线于，两点其中点为垂足，且点，分别在第二、第三象限内若，则双曲线的渐近线方程为( ) A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 9.在棱长为的正方体中，，分别是棱，的中点，则( ) A. B. 三棱锥的体积为 C. 异面直线与所成角的余弦值为 D. 点到直线的距离为 10.已知圆和直线，点在直线上运动，直线、分别与圆相切于点，，则下列说法正确的是( ) A. 切线长的最小值为 B. 四边形面积的最小值为 C. 当最小时，弦所在的直线方程为 D. 弦所在直线必过定点 11.抛物线的焦点为，顶点为，过点作倾斜角为的直线，交抛物线于，两点，点在轴上方，分别过点，作准线的垂线，垂足分别为，，准线与轴交于点，则下列说法正确的是( ) A. 当时， B. 当时， C. 三角形面积的最小值为 D. 的最小值为 第II卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.过坐标原点作倾斜角为的直线，则直线被圆所截得的弦长为 ． 13.已知两个等差数列和的前项和分别为和，且，则 ． 14.已知点，是椭圆和双曲线的公共焦点，是它们在第一象限的一个公共点，且，若和的离心率分别为，，则的取值范围是 ． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15.本小题分 已知数列是各项均为正数的等比数列，且，是和的等差中项． 求数列的通项公式 若数列满足，求数列的前项和． 16.本小题分 若平面内动点到两定点，距离的比值为常数且，则动点的轨迹叫做阿波罗尼斯圆已知两定点，的坐标分别为，，动点满足． 求动点的阿波罗尼斯圆方程 过点作该圆的切线，求切线的方程． 17.本小题分 如图，在四棱锥中，底面四边形为直角梯形，，，，为的中点，，． 证明：平面 若，求平面与平面夹角的余弦值． 18.本小题分 已知椭圆的左右焦点分别为，，离心率，点，分别是椭圆的右顶点和上顶点，且． 求椭圆的标准方程 直线，均过右焦点，且它们的斜率乘积为，设，分别与椭圆交于点，和，若，分别是线段和的中点，求面积的最大值． 19.本小题分 设数列的前项和为，若，则称是“紧密数列”． 已知数列是“紧密数列”，前项依次为，，，，求的取值范围 若数列的前项和，判断是否是“紧密数列”，并说明理由 设数列是公比为的等比数列若数列与都是“紧密数列”，求的取值范围． 答案和解析 1.【答案】 【解析】由题意，因为， 则， 解得， 故选D． 2.【答案】 【解析】圆的圆心为，半径为， 则圆心到直线的距离为， 则点到直线的最大距离为， 则面积的最大值为， 故选A． 3.【答案】 【解析】由题意得：， 则向量在向量方向上的投影向量为 故选C． 4.【答案】 【解析】在平行六面体中， ，， ... ...
