第3章 培优点　焦点三角形（课件+学案，共2份）湘教版（2019）选择性必修第一册

培优点　焦点三角形 椭圆或双曲线上的点P(x0，y0)与左、右焦点构成的三角形称为焦点三角形，其中∠F1PF2为顶角θ，F1F2为底边. (1)在椭圆中，①焦点三角形的周长是定值，l＝2a＋2c. ②△PF1F2中三边的关系，除定义|PF1|＋|PF2|＝2a外，还有余弦定理： |F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|·cos θ. ③|PF1|·|PF2|的最大值为a2(当且仅当x0＝0时取得)，最小值为b2(当且仅当x0＝±a时取得). ④S△PF1F2＝|PF1||PF2|sin θ＝b2tan＝c|y0|，当|y0|＝b，即P为短轴端点时，S△PF1F2取得最大值，最大值为bc. (2)在双曲线中，双曲线上的一点(非实轴端点)与两个焦点构成的三角形为焦点△PF1F2，由余弦定理与定义可得S△PF1F2＝＝c·|yP|. 类型一　椭圆中的焦点三角形 例1 已知F1，F2是椭圆＋＝1(a>b>0)的两个焦点，P为椭圆上一点，∠F1PF2＝60°. (1)求椭圆的离心率的取值范围； (2)求证：△F1PF2的面积只与椭圆的短轴长有关. 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 例2 已知F1(－c，0)，F2(c，0)为椭圆＋＝1(a>b>0)的两个焦点，P在椭圆上，且△PF1F2的面积为b2，求cos∠F1PF2的值. 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 类型二　双曲线中的焦点三角形 例3 已知双曲线－＝1的左、右焦点分别是F1、F2，若双曲线上一点P使得∠F1PF2＝90°，求△F1PF2的面积. 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 例4 如图所示，已知F1，F2分别为双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦点，点M为双曲线上一点，并且∠F1MF2＝θ，求△MF1F2的面积. 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 培优点　焦点三角形 例1　(1)解　设|PF1|＝m，|PF2|＝n， 在△F1PF2中，由余弦定理，得 cos ∠F1PF2＝， 即cos 60°＝ ＝－1≥－1 ＝－1＝1－＝1－2e2， 当且仅当m＝n时取“＝”，所以e2≥. 又e∈(0，1)，所以e∈. (2)证明　由(1)，知cos 60°＝ ＝－1， 所以mn＝b2， 所以S△F1PF2＝mnsin 60°＝b2， 即△F1PF2的面积只与椭圆的短轴长有关. 例2　解　依题意可得 整理得|PF1|·| ... ...