上海市建平中学2025届高三下学期3月月考数学试卷（含答案）

上海市建平中学2025届高三下学期3月月考数学试卷 一、单选题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.“”是“直线与垂直”的 ． A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 不充分也不必要条件 2.经验表明，一般树的胸径树的主干在地面以上处的直径越大，树就越高在研究树高与胸径之间的关系时，某同学收集了某种树的组观测数据如下表：假设树高与胸径满足的经验回归方程为，则( ) 胸径 树高 A. 当胸径时，树高的预测值为 B. C. 表中的树高观测数据的分位数为 D. 当胸径时，树高的离差为 3.已知函数，若存在，存在，使成立，则实数的取值范围是( ) A. B. C. D. 4.已知数列满足，有如下两个命题：命题：“是严格增数列”的充要条件是“存任使得对任意，都有”；命题：“是严格减数列”的充要条件是“存在使得对任意，都有”则下列说法中正确的是( ) A. 和都是真命题 B. 是真命题，是假命题 C. 是假命题，是真命题 D. 和都是假命题 二、填空题：本题共12小题，每小题5分，共60分。 5.已知复数，其中为虚数单位，则 ． 6.已知全集，，则 ． 7.在的展开式中，常数项为 ． 8.已知随机变量，若，则 ． 9.数列满足为正整数，且与的等比中项是，则 ． 10.若实数，满足，则的取值范围是 ； 11.将序号分别为，，，，的张电影券全部分给甲、乙、丙、丁人，每人至少张，则在甲分得张电影券的条件下，其分得张电影券连号的概率为 ． 12.已知曲线与直线有两个相异的交点，那么实数的取值范围是 ． 13.已知函数为奇函数，则 ． 14.已知双曲线的两条渐近线将双曲线所在平面分为上，下，左，右个部分不含渐近线上的点，若位于上部分，不位于下部分，则的离心率的取值范围为 ． 15.为进一步缓解中小学放学时道路拥堵问题，小明提出一个改造方案：假设校门口有条长米，宽米的公路如图矩形，公路的一侧划有个长米宽米的停车位如矩形，由于停车位不足，放学时段造成道路拥堵，在不改变停车位的大小和汽车通道宽度的条件下，通过压缩道路边绿化带及改变停车位方向来增加停车位，记绿化带被压缩的宽度米，此时，停车位相对道路倾斜的角度，其中，该路段改造后的停车位比改造前增加 个 16.已知，均为实数，且满足，，，，且的最大值是 ． 三、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 17.本小题分 如图，在四棱锥中，底面是菱形，平面，且，的中点为，的中点为． 证明：平面； 若直线与面所成角为，求点到平面的距离． 18.本小题分 在中，角所对的边分别为． 若，求的面积； 若角的平分线与的交点为，求的最小值． 19.本小题分 马尔可夫链是因俄国数学家安德烈马尔可夫得名，其过程具备“无记忆”的性质，即第次状态的概率分布只跟第次的状态有关，为了避免就餐聚集和减少排队时间，某校开学后，食堂从开学第一天起，每餐只推出即点即取的米饭套餐和面食套餐已知某同学每天中午会在食堂提供的两种套餐中选择，已知他第一天选择米饭套餐的概率为，而前一天选择了米饭套餐后一天继续选择米饭套餐的概率为，前一天选择面食套餐后继续选择面食套餐的概率为，如此往复． 求该同学第二天中午选择米饭套餐的概率； 记该同学第天选择米饭套餐的概率为； 证明：为等比数列； 当时，恒成立，求的取值范围． 20.本小题分 如图，已知椭圆的上、下焦点分别为，，焦距为，离心率为，称圆心在椭圆上运动，且半径为的圆是椭圆的“环绕圆”． 求椭圆的标准方程； 记直线与椭圆的另一个交点为点，“环绕圆”的面积为，三角形的面积为，试判断，是否存在点，使，若存在，求满足条件的直线的条数，若不存在，请说明理由； 若过原点可作“环绕圆”的两条切线，分别交椭圆于、两点 ... ...