湖南省长沙市湖南师范大学附属中学2025届高三下学期月考（七）数学试卷（含答案）

湖南省长沙市湖南师范大学附属中学2025届高三下学期月考（七） 数学试卷 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.设全集，集合，则( ) A. B. C. D. 2.已知复数满足：，且的实部为，则( ) A. B. C. D. 3.( ) A. B. C. D. 4.某省中学生足球赛预选赛每组有支队，每支队都要与同组的其他各队在主、客场分别比赛场，那么每组进行的比赛场数为( ) A. B. C. D. 5.已知，，则数列的通项公式为( ) A. B. C. D. 6.在矩形中，为边上的一点，，现将沿直线折成，使得点在平面上的射影在四边形内不含边界，设二面角的大小为，直线与平面所成的角分别为，则( ) A. B. C. D. 7.设、分别为双曲线的左、右焦点，双曲线上存在一点使得，，则该双曲线的离心率为( ) A. B. C. D. 8.已知，则的值为( ) A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 9.设是变量和的个样本点，直线是由这些样本点通过最小二乘法得到的线性回归直线，以下结论正确的是( ) A. 直线过点 B. 直线的斜率即为和的相关系数 C. 和的相关系数在到之间 D. 当为偶数时，分布在两侧的样本点的个数相等 10.关于函数 的叙述正确的是( ) A. 是偶函数 B. 在区间单调递增 C. 在，有个零点 D. 的最大值为 11.已知，且，函数，则( ) A. 当时，恒成立 B. 当时，有两个零点 C. 当时，有且仅有个零点 D. 存在，使得存在三个极值点 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.已知椭圆的焦点为，且离心率，若点在椭圆上，，则 ． 13.记为等比数列的前项和．若，则的公比为 ． 14.如图，已知直四棱柱的所有棱长等于，，和分别是上下底面对角线的交点，在线段上，，点在线段上移动，则三棱锥的体积最小值为 ． 四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15.本小题分 在中，内角所对的边分别为，已知． 求的值； 若的面积为，求的值． 16.本小题分 如图，三棱锥中，平面，是空间中一点，且平面． 证明：平面； 若，求平面与平面的夹角的余弦值． 17.本小题分 年广告费单位：百万元和年销售量单位：百万辆关系如图所示：令，数据经过初步处理得： 现有和两种方案作为年销售量关于年广告费的回归分析模型，其中，，，均为常数． 请从相关系数的角度，分析哪一个模型拟合程度更好？精确到小数点后两位 根据的分析选取拟合程度更好的回归分析模型及表中数据，求出关于的回归方程，并预测年广告费为百万元时，产品的年销售量是多少？ 该公司生产的电动车毛利润为每辆元不含广告费研发经费该公司在加大广告投入的同时也加大研发经费的投入，年研发经费为年广告费的倍电动车的年净利润受年广告费和年研发经费影响外还受随机变量影响，设随机变量服从正态分布，且满足在的条件下，求该公司年净利润的最大值大于百万元的概率年净利润毛利润年销售量年广告费年研发经费随机变量． 附：相关系数， 回归直线中； 参考数据： 18.本小题分 已知抛物线过点的动直线与交于两点在第一象限，且为坐标原点． 求的值； 设抛物线在处的切线交于点，求面积的最小值； 面积最小时，过作直线交抛物线于两点．轴且的中点在直线上，证明：直线过定点． 19.本小题分 已知函数． 当时，若恒成立，求的取值范围； 当时，设为的从小到大的第个极值点证明：数列是等比数列； 设函数在区间内的零点依次为，求证：． 参考答案 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14. 15.， 由余弦定理可得：， ， 又， ，即， 又，，可得， ，即， ． 由知，， 又，故，， ， 解得． ． 16.过点作，垂足为， 因为平面平面，所以， 因为平面，，所以平面， 因为平面，所以， 因为平面平 ... ...