2024-2025学年北京八十中高三（下）3月月考 数学试卷 一、单选题：本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.设全集为，集合，，则( ) A. B. C. D. 2.设复数在复平面内对应的点为，则( ) A. B. C. D. 3.已知，则( ) A. B. C. D. 4.已知圆柱和圆锥的底面半径相等，侧面积相等，且它们的高均为，则圆锥的体积为( ) A. B. C. D. 5.正项等比数列中，是其前项和，若，，则( ) A. B. C. D. 6.在中，，则( ) A. B. C. D. 7.设函数的定义域为，则“是上的增函数”是“任意，无零点”的( ) A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 8.已知点在圆上，点的坐标为为原点，则的取值范围是( ) A. B. C. D. 9.近年来，人们越来越注意到家用冰箱使用的氟化物的释放对大气臭氧层的破坏作用科学研究表明，臭氧含量与时间单位：年的关系为，其中是臭氧的初始含量，为常数，经过测算，如果不对氟化物的使用和释放进行控制，经过年将有一半的臭氧消失如果继续不对氟化物的使用和释放进行控制，再经过年，臭氧含量只剩下初始含量的，约为( ) 参考数据：， A. B. C. D. 10.数列满足，，给出下列四个结论： 不存在，使得，，成等差数列； 存在，使得，，成等比数列； 存在常数，使得对任意，都有，，成等差数列； 存在正整数，，，，且，使得． 其中所有正确结论的是( ) A. B. C. D. 二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分。 11.抛物线的焦点坐标是_____． 12.设，若，则 _____． 13.已知函数，其中，若函数恒成立，则常数的一个取值为_____． 14.已知，分别为双曲线：的左、右焦点，过原点的直线与交于，两点点在第一象限，延长交于点，若，，则双曲线的离心率为_____． 15.已知正方体的边长为，且为棱的中点，点在正方形的边界及其内部运动，且满足与底面所成的角为，给出下列四个结论： 存在点使得； 点的轨迹长度为； 三棱锥的体积的最小值为； 线段长度最小值为． 其中所有正确结论的序号是 ． 三、解答题：本题共6小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 16.本小题分 在中，． Ⅰ求的大小； Ⅱ若，从条件、条件、条件这三个条件中选择一个作为已知，使得存在，求最长边上高线的长． 条件：； 条件：的面积为； 条件：． 注：如果选择的条件不符合要求，第Ⅱ问得分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分． 17.本小题分 如图，在直三棱柱中，点、在侧棱、上，且，，点、在侧棱、上，且，． Ⅰ证明：点在平面内； Ⅱ若，，，求二面角的余弦值． 18.本小题分 某学校在寒假期间安排了“垃圾分类知识普及实践活动”为了解学生的学习成果，该校从全校学生中随机抽取了名学生作为样本进行测试，记录他们的成绩，测试卷满分分，将数据分成组：，，，，，，并整理得到如下频率分布直方图： Ⅰ若全校学生参加同样的测试，试估计全校学生的平均成绩每组成绩用中间值代替； Ⅱ在样本中，从其成绩在分及以上的学生中随机抽取人，用表示其成绩在中的人数，求的分布列及数学期望； Ⅲ在Ⅱ抽取的人中，用表示其成绩在的人数，试判断方差与的大小．直接写结果 19.本小题分 已知椭圆过点，长轴长为． 求椭圆的方程及其焦距； 直线：与椭圆交于不同的两点，，直线，分别与直线交于点，，为坐标原点且，求证：直线过定点，并求出定点坐标． 20.本小题分 已知函数，其中． Ⅰ当时，求曲线在点处切线方程； Ⅱ求的单调区间； Ⅲ若区间，求实数的取值范围． 21.本小题分 已知为有限个实数构成的非空集合，设，，记集合和其元素个数分别为，． 设例如当时，，，，所以． 若，求的值； 设是由个正实数组成的集合且，，证明：为定值； 若是 ... ...
