8字相似模型—人教版数学九下解题模型专项训练 一、选择题 1．（2023九上·富阳期末）如图，线段，相交于点，，若，，，则的长是（ ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【知识点】8字型相似模型 【解析】【解答】解：∵， ∴， ∴， ∵，，， ∴， 解得：， 故答案为：B. 【分析】易证△AOC∽△BOD，然后根据相似三角形的对应边成比例进行计算. 2．（2024九下·宁波模拟）如图，点在正方形的对角线上，于点，连接并延长，交边于点，交边的延长线于点．若，，则（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】正方形的性质；两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例；8字型相似模型；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边 【解析】【解答】解：∵四边形是正方形，，， ∴，，， ∵， ∴ ∴，， ∴， 则， ∴， ∵， ∴， ∴ ∴， 在中，， 故答案为：B． 【分析】根据平行线得到，求出，然后利用，可以得到，利用相似三角形的对应边成比例求出，再在中利用勾股定理解题即可． 3．（2024九下·宁波模拟）如图，正方形中，点E，G是的三等分点，点F，H是的三等分点．记阴影部分面积为，正方形面积为，则的值为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】正方形的性质；两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例；A字型相似模型；8字型相似模型；相似三角形的判定-AA 【解析】【解答】解：如图， ∵点F是的三等分点，点G是是的三等分点， ∴， ∴， ∴， 设， ∵， ∴， ∴， ∴，，则， ∴， ∴，中的阴影部分面积为， ∴， 故答案为：D． 【分析】设，由平行线分线段成比例定理逆用证明FG∥BC，由平行于三角形一边的直线截其它两边，所截的三角形与原三角形相似得△OFG∽△OBC，由相似三角形对应边成比例及正方形性质推出，由平行于三角形一边的直线截其它两边的延长线，所截的三角形与原三角形相似证明△PFG∽△PCB，由相似三角形对应边成比例推出，由相似三角形面积的比等于相似比的平方及同高三角形的面积比等于对应底的比可求出△PBC、△PBF的面积，进而即可得到△GBF及OGF的面积，从而即可解决此题. 4．由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成的大正方形 如图所示， 过点 作 的垂线交小正方形对角线 的延长线于点 ，连接 ， 延长 交 于点 ． 若 ， 则 的值为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】勾股定理；正方形的判定与性质；直角三角形的性质；三角形的中位线定理；8字型相似模型；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边 【解析】【解答】解：如图，作，易证四边形DFMG是正方形， 设BE=a， ， 由题意可得，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， . 故答案为：C. 【分析】作，易证四边形DFMG是正方形，设BE=a，由题意可得，，利用勾股定理求得，再通过平行线的性质证得，进而求得，然后通过三角形中位线的性质求得HT的长度，进而求得，即可求得 的值 . 5．（2024九上·乐业期中）如图，平行四边形的对角线交于点，平分交于点，交于点，且，，连接．下列结论：；；；． 其中正确的结论有（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】等边三角形的判定与性质；勾股定理；平行四边形的性质；圆周角定理；8字型相似模型；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边 【解析】【解答】解：∵四边形是平行四边形， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴点在以为圆心，为半径的圆上， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴，故正确， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，故错误； 设，则，，， ∴， ∴，故正确； ∵， ∴， ∴，， ∴，故正确， 综上可知：正确， 故答案为：B 【分析】证明，推出，再利用三角形中位线定理可判断；证明推出可判断；设 ... ...
