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课件网) 第7章 复数 7.1.1 数系的扩充和复数的概念 实数系 1 实数系的分类 小学的时候我们先学了自然数；为了衡量一个苹果分给几个小朋友的问题，引入了分数；初中时引入了负数；紧接着为了衡量边长为1的正方形的对角线的长度，引入了无理数；一步步地将数系扩充到实数系… 实数系 1 实数的性质 实数对四则运算是封闭的，即两个实数进行四则运算的结果仍然是实数； 加法与乘法满足交换律、结合律，乘法对加法满足分配律； 实数和数轴上的点可以建立一 一对应的关系. 实数的概念 2 复数的引入 为了解决这样的方程在实数系中无解的问题，设想引入一个新，使得 是方程 的解，即使得 ，并且 可以与实数进行四则运算，且原有的加法与乘法的运算律仍然成立. 1 所以实数系 经过扩容后得到的新数集是 (1) ，但并没有 ； (2) 这里只提加法与乘法运算，并没有提减法与除法，并不是复数的运算 对减法和除法不成立，而是为了后面讲复数的四则运算时，分别把减 法和除法定义为加法和乘法的逆运算. 复数的概念 2 2 【1】复数：形如 的数叫做复数，其中 叫做虚数单位 复数的概念 【2】复数集：全体复数构成的集合 叫做复数集，通 常用大写字母 表示 【3】实部和虚部：复数通常用字母 表示，即 .以后不 作特殊说明时，复数 都有 ，其中的 与 分别叫 做复数的实部与虚部. 3 复数相等 在复数集 中任取两个数 ，我们规定：与 相等，当且仅当 且 . 复数的概念 2 设复数 时，一定要有 ，否则不能说实部为 ，虚部为 ； 虚部是复数代数形式中 的实数系数，不含 ，不能说虚部为 . 复数不能比较大小，若两个复数可以比较大小，则这两个复数必定都是实数； 复数的分类 3 对于复数 ，当且仅当 时，它是实数；当且仅当 时，它是实数0；当 时，它叫做虚数；当 且 时，它叫做纯虚数. 复数 ，可以分类如下： 纯虚数集 复数集 虚数集 实数集 若复数 的实部与虚部互为相反数，则 的值是多少？ 题① ———复数的基本概念 【解】复数 的实部为2， 虚部为 根据题意有2和 互为相反数，即 在理解和应用复数概念时，一定要明确复数实部和虚部的定义、复数的代数形式，根据题意求出结果. 以 的虚部为实部，以 的实部为虚部的复数是多少？ 【解】复数 的虚部为 ， ,所以 的实部为 ， 所以所求复数的实部为 ，虚部为 ， 即这个复数是 已知复数 ，其中 ， 为虚数单位，求实数的 值. 题② ———复数相等的充要条件 【解】∵ 【解决复数相等问题的步骤】 ① 等号两侧都写成复数的代数形式； ② 根据两个复数相等的充要条件列出方程 或者方程组； ③ 解方程或方程组，得出答案. ∴ 由复数相等的条件有 解得 【1】已知复数 ，其中 ， 为虚数单位， 求实数的 值 【解】由复数相等的条件有 解得 【2】已知复数 ，其中 为虚数单位，若，求 . 【解】由题意有 解得 实数 分别取什么值时，复数 是以下的数？ 题③ ———复数的分类 【解】(1) 当 满足 即 时， 是实数； （1）实数 （2）虚数 （3）纯虚数 (2) 当 满足 即 且 时， 是虚数； (3) 当 满足 即 或 时， 是纯虚数. 复数 为纯虚数， ，则 是 的（ ） 【解】当 时， ，若 ， 不是纯虚数，所以充分性 不成立； 充分不必要条件 必要不充分条件 必要条件 既不充分也不必要条件 当 为纯虚数时，则 ，所以必要性成立，故选B. 已知 ，其中 ，求 的值. 题④ ———复数中的比较大小 【解】 ∵ ， ∴ 解得 由于出现了 ，即两个复数有大小关系，说明 一定都是实数.解题时要善于挖掘隐含条件，也就是所谓的“坑” 已知复数 ，若， ，求实数的 值. 【解】因为 ，所以 为实数，故 ， 即 ,解得 或 . 当 时， 成立; 当 时， 不满足条件. 所以 已知 A为ΔABC的一个内角，若不论A ... ...
