1.3.2　函数的极值（课件+学案+练习，共6份）湘教版（2019）选择性必修第二册

第二课时　函数的极值(二) 课标要求　1.进一步理解函数的导数与极值的关系. 2.能求简单的含参的函数的极值,能根据极值求参数的取值范围. 题型一　求含参函数的极值 例1 已知函数f(x)=16x3-20ax2+8a2x-a3,其中a≠0,求f(x)的极值. _____ _____ _____ _____ _____ 思维升华　求含参函数极值的步骤与求不含参函数极值的步骤相同,但要注意有时需要对参数进行分类讨论. 训练1 求函数f(x)=x-aln x(a∈R)的极值. _____ _____ _____ _____ _____ 题型二　由极值求参数的值或范围 例2 (1)已知f(x)=x3+ax2+(a+6)x+1有极大值和极小值,则a的取值范围为 (　　 ) A.(-1,2) B.(-3,6) C.(-∞,-1)∪(2,+∞) D.(-∞,-3)∪(6,+∞) (2)若函数f(x)=x3+ax2+bx+a2在x=1处取得极值10,则a=　　　　,b=　　　　. 思维升华　已知函数极值求参数值的两点注意 (1)根据极值点处导数值为0和极值两个条件列方程组,利用待定系数法求解. (2)因为导数值等于零不是此点为极值点的充要条件,所以利用待定系数法求解后必须验证根的合理性. 训练2 已知函数f(x)=(m+3)x2+(m+6)x(x∈R,m为常数)在区间(1,+∞)内有两个极值点,求实数m的取值范围. _____ _____ _____ _____ _____ 题型三　函数极值的综合问题 例3 已知函数f(x)=x3-3x+a(a为实数),若方程f(x)=0有三个不同实根,求实数a的取值范围. _____ _____ _____ _____ _____ 迁移 (1)本例中,若把“三个不同实根”改为“唯一一个实根”,结果如何 (2)本例中,若把“三个不同实根”改为“恰有两个实数”,结果如何 _____ _____ _____ _____ _____ 思维升华　函数极值可应用于求曲线与曲线(或坐标轴)的交点,求方程根的个数等问题时,往往先构造函数,利用极值,并结合图象来解决. 训练3 已知函数f(x)=x3-6x2+9x+3,若函数y=f(x)的图象与y=f'(x)+5x+m的图象有三个不同的交点,求实数m的取值范围. _____ _____ _____ _____ _____ 【课堂达标】 1.已知函数f(x)=x3+ax2+3x-9在x=-3处取得极值,则a等于 (　　) A.2 B.3 C.4 D.5 2.若函数f(x)=在x=1处取得极值,则a=　　　　. 3.已知函数y=3x-x3+m的极大值为10,则m的值为　　　　. 4.设a∈R,若函数y=ex+ax(x∈R)有大于零的极值点,则a的取值范围是　　　　. 第二课时　函数的极值(二) 题型剖析 例1　解　∵f(x)=16x3-20ax2+8a2x-a3,其中a≠0, ∴f'(x)=48x2-40ax+8a2=8(6x2-5ax+a2)=8(2x-a)(3x-a), 令f'(x)=0,得x=. (1)当a>0时,, 则随着x的变化,f'(x),f(x)的变化情况如下表: x f'(x) + 0 - 0 + f(x) ↗ 极大 值 ↘ 极小 值 ↗ ∴当x=时,函数取得极大值f; 当x=时,函数取得极小值f=0. (2)当a<0时,, 则随着x的变化,f'(x),f(x)的变化情况如下表: x f'(x) + 0 - 0 + f(x) ↗ 极大 值 ↘ 极小 值 ↗ ∴当x=时,函数取得极大值f=0; 当x=时,函数取得极小值f. 综上所述,当a>0时,函数f(x)在x=,在x==0; 当a<0时,函数f(x)在x==0, 在x=. 训练1　解　由f'(x)=1-,x>0知, ①当a≤0时,f'(x)>0,函数f(x)在(0,+∞)上单调递增,函数f(x)无极值; ②当a>0时,由f'(x)=0,解得x=a, 当x变化时,f'(x)与f(x)的变化情况如下表: x (0,a) a (a,+∞) f'(x) - 0 + f(x) ↘ a-aln a ↗ 从而函数f(x)在x=a处取得极小值,且极小值为f(a)=a-aln a,无极大值. 综上所述,当a≤0时,函数f(x)无极值;当a>0时,函数f(x)在x=a处取得极小值a-aln a,无极大值. 例2　(1)D　(2)4　-11　[(1)f'(x)=3x2+2ax+a+6, 因为f(x)既有极大值又有极小值, 所以方程3x2+2ax+a+6=0有两个不相等的实数根, 那么Δ=(2a)2-4×3·(a+6)>0, 解得a>6或a<-3. (2)f'(x)=3x2+2ax+b, 依题意得 即 解得 但由于当a=-3,b=3时, f'(x)=3x2-6x+3=3(x-1)2≥0, 故f(x)在R上单调递增,不可能在x=1处取得极值, 所以不符合题意,应舍去. 而当a=4,b=-11时,经检验知符合题意, 故a,b的值分别为4,-11 ... ...