第一章 培优点 利用导数研究函数零点问题（课件+学案，共2份）湘教版（2019）选择性必修第二册

培优点　利用导数研究函数零点问题 1.解决函数y=f(x)的零点问题,可通过求导判断函数图象的位置、形状和发展趋势,观察图象与x轴的位置关系,利用数形结合的思想方法判断函数的零点是否存在及零点的个数等. 2.通过等价变形,可将“函数F(x)=f(x)-g(x)的零点”与“方程f(x)=g(x)的解”相互转化. 类型一　判断零点的个数 例1 已知二次函数f(x)的最小值为-4,且关于x的不等式f(x)≤0的解集为{x|-1≤x≤3,x∈R}. (1)求函数f(x)的解析式; (2)求函数g(x)=-4ln x的零点个数. _____ _____ _____ _____ _____ 例2 设函数f(x)=ln x+(m>0),讨论函数g(x)=f'(x)-零点的个数. _____ _____ _____ _____ _____ 类型二　已知函数零点个数求参数范围 例3 函数f(x)=ax+xln x在x=1处取得极值. (1)求f(x)的单调区间; (2)若y=f(x)-m-1在定义域内有两个不同的零点,求实数m的取值范围. _____ _____ _____ _____ _____ 例4 已知函数f(x)=ex+ax-a(a∈R且a≠0). (1)若f(0)=2,求实数a的值,并求此时f(x)在[-2,1]上的最小值; (2)若函数f(x)不存在零点,求实数a的取值范围. _____ _____ _____ _____ _____ 培优点　利用导数研究函数零点问题 例1　解　(1)∵f(x)是二次函数,且关于x的不等式f(x)≤0的解集为{x|-1≤x≤3,x∈R}, ∴设f(x)=a(x+1)(x-3)=ax2-2ax-3a,且a>0, ∴f(x)min=f(1)=-4a=-4,a=1, 故函数f(x)的解析式为f(x)=x2-2x-3. (2)由(1)知g(x)=-4ln x =x--4ln x-2, ∴g(x)的定义域为(0,+∞), g'(x)=1+, 令g'(x)=0,得x1=1,x2=3. 当x变化时,g'(x),g(x)的取值变化情况如下表: x (0,1) 1 (1,3) 3 (3,+∞) g'(x) + 0 - 0 + g(x) ↗ 极大值 ↘ 极小值 ↗ 当03时,g(e5)=e5--20-2>25-1-22=9>0. 又因为g(x)在(3,+∞)上单调递增, 因而g(x)在(3,+∞)上只有1个零点, 故g(x)仅有1个零点. 例2　解　函数g(x)=f'(x)-(x>0), 令g(x)=0,得m=-x3+x(x>0). 设h(x)=-x3+x(x>0), 所以h'(x)=-x2+1=-(x-1)(x+1). 当x∈(0,1)时,h'(x)>0, 此时h(x)在(0,1)内单调递增; 当x∈(1,+∞)时,h'(x)<0, 此时h(x)在(1,+∞)内单调递减. 所以当x=1时,h(x)取得极大值 h(1)=-. 令h(x)=0,即-x3+x=0, 解得x=0(舍去)或x=. 作出函数h(x)的大致图象(如图),结合图象知: ①当m>时,函数y=m和函数y=h(x)的图象无交点. ②当m=时,函数y=m和函数y=h(x)的图象有且仅有一个交点. ③当0时,函数g(x)无零点;当m=时,函数g(x)有且仅有一个零点;当00,解得x>1; 令f'(x)<0,解得0-1, 即m>-2, ① 当0e时,f(x)>0. 当x>0且x→0时,f(x)→0; 当x→+∞时,显然f(x)→+∞. 由图象可知,m+1<0, 即m<-1, ② 由①②可得-20, ①当a>0时,f'(x)>0,f(x)在R上是增函数, 当x>1时,f(x)=ex+a(x-1)>0; 当x<0时,取x=-, 则f=-a<0. 所以函数f(x)存在零点,不满足题意. ②当a<0时,令f'(x)=0,得x=ln(-a). 在(-∞,ln(-a))上,f'(x)<0,f(x)单调递 ... ...