2.1.2 空间两点间的距离 课标要求 1.掌握并能推导空间两点间的距离公式. 2.能够运用空间两点间的距离公式解决有关问题. 【知识梳理】 1.长方体的对角线 (1)如图,连接长方体两个顶点A,C'的线段AC'称为长方体的对角线. (2)如果长方体的长、宽、高分别为a,b,c,那么对角线长d= . 2.空间两点间的距离公式 (1)空间任意一点P(x,y,z)与原点的距离|OP|= . (2)空间两点A(x1,y1,z1),B(x2,y2,z2)间的距离|AB|= . 温馨提醒 (1)公式特征:同名坐标差的平方和的算术平方根. (2)x2+y2+z2=1表示以原点为球心,半径为1的球的方程. 【自测检验】 1.思考辨析,判断正误 (1)的几何意义是表示在空间直角坐标系中,动点P(x,y,z)与原点O(0,0,0)之间的距离. ( ) (2)在坐标平面xOy上,到点A(3,2,5),B(3,5,1)距离相等的点有无数个. ( ) 2.空间直角坐标系中,点A(-3,4,0)和点B(2,-1,6)的距离是 ( ) A.2 3.已知三角形的三个顶点A(2,-1,4),B(3,2,-6),C(5,0,2),则过A点的中线长为 ( ) A. 4.已知点A(1,-2,11),B(4,2,3),C(6,-1,4),△ABC的形状是 ( ) A.等腰三角形 B.等边三角形 C.直角三角形 D.等腰直角三角形 题型一 求空间两点间的距离 例1 已知△ABC的三个顶点A(1,5,2),B(2,3,4),C(3,1,5). (1)求△ABC中最短边的边长; (2)求AC边上中线的长度. _____ _____ _____ _____ _____ 思维升华 1.求空间两点间的距离问题就是把点的坐标代入距离公式进行计算,其中确定点的坐标或合理设出点的坐标是关键. 2.若所给题目中未建立坐标系,有时需结合已知条件建立适当的坐标系,再利用空间两点间的距离公式计算. 训练1 如果点P在z轴上,且满足|PO|=1(O是坐标原点),则点P到点A(1,1,1)的距离是 . 题型二 由空间两点的距离求空间点的坐标 例2 已知点P1,P2的坐标分别为(3,1,-1),(2,-2,-3),分别在x,y,z轴上取点A,B,C,使它们与P1,P2两点距离相等,求A,B,C的坐标. _____ _____ _____ _____ _____ 思维升华 解决这类问题的关键是根据点的坐标的特征,应用空间两点间的距离公式建立已知与未知的关系,结合已知条件确定点的坐标. 训练2 已知A(x,5-x,2x-1),B(1,x+2,2-x),求|AB|取最小值时A,B两点的坐标,并求此时的|AB|. _____ _____ _____ _____ _____ 题型三 空间两点间距离公式的应用 例3 如图,在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中,以正方体的三条棱所在直线为坐标轴建立空间直角坐标系O-xyz. (1)若点P在线段BD1上,且满足3|BP|=|BD1|,试写出点P的坐标,并写出P关于y轴的对称点P'的坐标; (2)在线段C1D上找一点M,使得点M到点P的距离最小,求出点M的坐标. _____ _____ _____ _____ _____ 思维升华 与平面直角坐标系中类似,在空间直角坐标系中也常常需要设点的坐标,此时,若注意利用点的特殊性,往往能使求解过程简化,如本例(2)设M(0,m,m)便是如此. 训练3 如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,|AB|=|AD|=2,|AA1|=3,M,N分别是AB,B1C1的中点,点P是DM上的点,|DP|=a,当a为何值时,NP的长最小 _____ _____ _____ _____ _____ 【课堂达标】 1.在空间直角坐标系O-xyz中,y轴上的点M到点A(1,0,2)与点B(2,2,1) 的距离相等,则点M的坐标是 ( ) A.(0,-1,0) B.(0,1,0) C.(0,0,1) D.(2,0,0) 2.(多选)如果点M在x轴上,且满足|MO|=2(O是坐标原点),则点M到点A(1,1,1)的距离是 ( ) A. C.3 D.4 3.已知正方体不在同一表面上的两个顶点A(-1,2,-1),B(3,-2,3),则正方体的体积是 . 4.点P在xOy平面内的直线3x-y+6=0上,点P到点M(2a,2a+5,a+2)的距离最小,则点P的坐标为 . 2.1.2 空间两点间的距离 新知导学 知识梳理 1.(2) 2.(1) (2) 自测检测 1.(1)√ (2)√ 2.D [|AB|=.] 3.B [∵BC的中点坐标为(4,1,-2), ∴过A点的中线长为 .] 4.C [由距 ... ...
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