2.2.1 空间向量的概念及线性运算 课标要求 1.经历由平面向量推广到空间向量的过程,了解空间向量的概念. 2.经历由平面向量的运算及其运算律推广到空间向量的过程. 3.掌握空间向量的线性运算. 【知识梳理】 1.空间向量的基本概念 (1)空间向量的概念:空间中既有 又有 的量称为空间向量. (2)空间向量的模:空间向量a的 称为a的模,记为 . (3)空间向量的表示:要表示空间向量a,可以从任意一点A出发作有向线段,使的 与a相同,长度与|a|相等,则有向线段表示向量a,记作a= . (4)几类特殊向量 概念 定义 单位向量 长度为 的向量 零向量 模为 的向量,记为 .零向量的方向可以是任意的 相等向量 方向 且长度 的向量 相反向量 方向相反,长度相等 共线向量 (平行向量) 对于空间任意两个向量a,b(a≠0),若 ,其中λ为实数,则b与a共线或平行,记作 .零向量与任意向量 温馨提醒 (1)平面向量是一种特殊的空间向量. (2)两个向量相等的充要条件为长度相等,方向相同. (3)向量不能比较大小. 2.空间向量的加减法 加法 运算 三角形 法则 语言 首尾顺次相接,首指向尾为和 图形 平行四 边形法 则 语言 共起点的两边为邻边作平行四边形,共起点 为和 图形 减法 运算 三角形 法则 语言 共起点,连终点,方向指向 图形 加法运 算律 交换律 a+b= 结合律 (a+b)+c= 温馨提醒 (1)求向量和时,可以首尾相接,也可共起点;求向量差时,可以共起点. (2)三角形法则、平行四边形法则在空间向量中也适用. 3.空间向量与实数相乘 定义 任何一个向量a都可看作某平面上的向量,它与实数λ相乘可类比平面向量数乘的法则进行,因而有|λa|= 几何 意义 λ>0 λa与a方向 λa的长度是a的长度的 倍 λ<0 λa与a方向 λ=0 λa=0,其方向是 的 运算 律 对实数加法的分配律 (λ1+λ2)a= 对向量加法的分配律 λ(a+b)=λa+λb,其中λ∈R 温馨提醒 (1)当λ=0或a=0时,λa=0. (2)λ的正负影响着向量λa的方向,λ的绝对值的大小影响着λa的长度. (3)向量λa与向量a一定是共线向量. 4.向量共线(平行) 对于空间任意两个向量a,b(a≠0),若 ,其中λ为实数,则b与a共线或平行,记作b∥a. 【自测检验】 1.思考辨析,判断正误 (1)若向量a与b都是单位向量,则a=b. ( ) (2)若a=-b,则|a|=|b|. ( ) (3)若两个向量的终点重合,则这两个向量的方向相同. ( ) 2.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,=a,=b,=c,则= ( ) A.a+b+c B.a-b+c C.a+b-c D.a-b-c 3.化简:= . 4.已知a与b不共线,若向量2a-b和3a+mb共线,则实数m= . 题型一 空间向量的有关概念 例1 (1)下列关于空间向量的说法中正确的是 ( ) A.若向量a,b平行,则a,b所在的直线平行 B.若|a|=|b|,则a,b的长度相等而方向相同或相反 C.若向量,|,则 D.相等向量其方向必相同 (2)(多选)下列命题为真命题的是 ( ) A.若空间向量a,b满足|a|=|b|,则a=b B.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,必有 C.若空间向量m,n,p满足m=n,n=p,则m=p D.空间中,a∥b,b∥c,则a∥c 思维升华 空间向量的概念与平面向量的概念相类似,平面向量的其他相关概念,如向量的模、相等向量、平行向量、相反向量、单位向量等都可以拓展为空间向量的相关概念. 训练1 (1)(多选)下列命题中为真命题的是 ( ) A.同平面向量一样,任意两个空间向量都不能比较大小 B.两个相等的向量,若起点相同,则终点也相同 C.只有零向量的模等于0 D.共线的单位向量都相等 (2)如图所示,以长方体ABCD-A1B1C1D1的八个顶点的两点为起点和终点的向量中, ①试写出与相等的所有向量; ②试写出的相反向量; ③若AB=AD=2,AA1=1,求向量的模. _____ _____ _____ ... ...
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