第二课时 空间向量基本定理 课标要求 理解空间向量基本定理及其意义并会简单应用. 【知识梳理】 1.空间向量基本定理 设e1,e2,e3是空间中三个不共面向量,则空间中任意一个向量p可以分解成这三个向量的实数倍之和:p= ,上述表达式中的系数x,y,z由p唯一确定. 2.基与基向量 如果三个向量e1,e2,e3 ,那么空间的每一个向量都可由向量e1,e2,e3线性表示.我们把{e1,e2,e3}称为空间的一组 ,e1,e2,e3叫作 .(x,y,z)称为向量p= 在基{e1,e2,e3}下的坐标. 温馨提醒 空间任意三个不共面的向量都可构成空间的一组基.基选定后,空间的所有向量均可由基唯一表示;不同基下,同一向量的表达式也有可能不同. 【自测检验】 1.思考辨析,判断正误 (1)空间的任何一个向量都可用三个给定向量表示. ( ) (2)若{a,b,c}为空间的一组基,则a,b,c全不是零向量. ( ) (3)如果向量a,b与任何向量都不能构成空间的一组基,则一定有a与b共线. ( ) (4)任何三个不共线的向量都可构成空间的一组基. ( ) 2.设向量a,b,c不共面,则下列集合可作为空间的一组基的是 ( ) A.{a-2b,3a-b,0} B.{a,b,a+b} C.{3a+b,a+b,c} D.{a+b+c,a+b,c} 3.长方体ABCD-A1B1C1D1中,若=3i,=2j,=5k,则= . 4.如图所示,点M是OA的中点,以{,,}为基的向量,则(x,y,z)= . 题型一 基的判断 例1 已知{e1,e2,e3}是空间的一组基,且=e1+2e2-e3,=-3e1+e2+2e3,=e1+e2-e3,试判断{,,}能否作为空间的一组基. _____ _____ _____ _____ _____ 思维升华 判断基的基本思路及方法 (1)基本思路:判断三个空间向量是否共面,若共面,则不能构成一组基;若不共面,则能构成一组基. (2)方法:①如果向量中存在零向量,则不能作为一组基;如果存在一个向量可以用另外的向量线性表示,则不能构成一组基. ②假设a=λb+μc,运用空间向量基本定理,建立λ,μ的方程组,若有解,则共面,不能作为基;若无解,则不共面,能作为基. 训练1 若{a,b,c}是空间的一组基,试判断{a+b,b+c,c+a}能否作为空间的一组基. _____ _____ _____ _____ _____ 题型二 用基表示空间向量 例2 如图,四棱锥P-OABC的底面为一矩形,PO⊥平面OABC,设=a,=b,=c,E,F分别是PC和PB的中点,试用a,b,c表示,,,,并分别指出它们在这组基下的坐标. _____ _____ _____ _____ _____ 思维升华 用基表示向量时: (1)若基确定,要充分利用向量加法、减法的三角形法则和平行四边形法则,以及数乘向量的运算律进行; (2)若没给定基时,首先选择基,选择时,要尽量使所选的基向量能方便地表示其他向量,再就是看基向量的模及其夹角已知或易求. 训练2 在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,设=a,=b,=c,E,F分别是AD1,BD的中点.用向量a,b,c表示,,,并分别指出它们在这组基下的坐标. _____ _____ _____ _____ _____ 题型三 空间向量基本定理的应用 例3 如图所示,平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别在B1B和D1D上,且BE=BB1,DF=DD1. (1)证明:A,E,C1,F四点共面; (2)若,求x+y+z. _____ _____ _____ _____ _____ 思维升华 由空间向量基本定理可以知道,如果三个向量a,b,c是不共面的向量(基向量),则a,b,c的线性组合xa+yb+zc能生成所有的空间向量,并且有序数组(x,y,z)是唯一的,这是利用空间向量基本定理求参数值的理论基础. 训练3 如图,已知正方体ABCD-A'B'C'D'中,点E是上底面A'B'C'D'的中心,求下列各式中x,y,z的值. (1); (2). _____ _____ _____ _____ _____ 【课堂达标】 1.在长方体ABCD-A1B1C1D1中,可以作为空间向量的一组基的是 ( ) A.{,,} B.{,,} C.{,,} D.{,,} 2.设p:a,b,c是三个非零向量;q:{a,b,c}为空间的一组基,则p是q的 ( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分又不必要条件 3.(多选)设x=a+b,y=b+c,z ... ...
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