2.3.2 空间向量运算的坐标表示 课标要求 1.掌握空间向量的线性运算及其坐标表示. 2.掌握空间向量的数量积及其坐标表示. 3.能利用空间向量的坐标运算解决有关问题. 【知识梳理】 1.空间向量运算的坐标表示 设a=(x1,y1,z1),b=(x2,y2,z2),则有 向量运算 坐标表示 加法 a+b= 减法 a-b= 数乘 λa= 数量积 a·b= 2.空间向量的平行、垂直及模长和夹角的坐标表示 设a=(x1,y1,z1),b=(x2,y2,z2),则有 名称 满足条件 向量表示形式 坐标表示形式 a∥b a=λb(b≠0) x1=λx2,y1=λy2, z1=λz2(λ∈R) a⊥b a·b=0 模 |a|= |a|= 夹角 cos
=(a≠0,b≠0) cos= 温馨提醒 (1)空间两直线的夹角可转化为两向量的夹角,设直线AB与CD所成角为θ,cos θ=│cos<,>│. (2)求空间线段的长度即求对应空间向量的模长,因此空间两点间的距离公式就是对空间向量的模长的计算. 【自测检验】 1.思考辨析,判断正误 (1)若A(1,1,0),B(2,3,1),则=(-1,-2,-1). ( ) (2)对于空间任意两个向量a=(a1,a2,a3),b=(b1,b2,b3),若a与b共线,则. ( ) (3)空间向量a=(0,0,-1)与b=(1,0,0)垂直. ( ) 2.已知向量a=(3,-2,1),b=(-2,4,0),则4a+2b等于 ( ) A.(16,0,4) B.(8,-16,4) C.(8,16,4) D.(8,0,4) 3.已知向量a=(1,1,0),b=(-1,0,2),且ka+b与2a-b互相垂直,则k的值是 ( ) A.1 B. 4.向量a=(1,2,3)的模长为 . 题型一 线性运算的坐标表示 例1 已知空间三点A(-2,0,2),B(-1,1,2),C(-3,0,4). (1)求,; (2)是否存在实数x,y,使得成立,若存在,求x,y的值;若不存在,请说明理由. _____ _____ _____ _____ _____ 思维升华 (1)向量的坐标可由其两个端点的坐标确定,即向量的坐标等于其终点的坐标减去起点的坐标.特别地,当向量的起点为坐标原点时,向量的坐标即是终点的坐标. (2)进行空间向量的加、减、数乘的坐标运算的关键是运用好其运算性质. 训练1 已知A(2,-1,2),B(4,5,-1),C(-2,2,3),则满足条件()的点P的坐标为 . 题型二 空间向量平行、垂直的坐标表示 例2 已知空间三点A(-2,0,2),B(-1,1,2),C(-3,0,4),设=a,=b. (1)设向量c=,试判断2a-b与c是否平行 (2)若ka+b与ka-2b互相垂直,求k. _____ _____ _____ _____ _____ 思维升华 判断两向量是否平行或垂直可直接利用向量平行或垂直的充要条件;已知两向量平行或垂直求参数值,则利用平行、垂直的充要条件,将位置关系转化为坐标关系,列方程(组)求解. 训练2 (1)已知向量a=(-1,2,1),b=(3,x,y),且a∥b,那么b的坐标为 ( ) A.(3,-6,-3) B.(3,-3,-6) C.(3,2,1) D.(3,1,2) (2)已知向量a=(2,2,0),b=(-1,0,2),且ka+b与2a+b互相垂直,则k的值是 ( ) A.1 B. 题型三 空间向量运算的坐标表示的应用 例3 棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F,G分别是DD1,BD,BB1的中点. (1)求证:EF⊥CF; (2)求异面直线EF与CG所成角的余弦值; (3)求CE的长. _____ _____ _____ _____ _____ 思维升华 通过分析几何体的结构特征,建立适当的坐标系,使尽可能多的点在坐标轴上,以便写点的坐标时便捷.建立坐标系后,写出相关点的坐标,然后再写出相应向量的坐标表示,把向量坐标化,然后再利用向量的坐标运算求解夹角、长度和证明问题. 训练3 在四棱锥P-ABCD中,PD⊥平面ABCD,PA与平面ABCD所成的角为60°,在四边形ABCD中,∠ADC=∠DAB=90°,AB=4,CD=1,AD=2. (1)求BP的长; (2)求异面直线PA与BC所成的角的余弦值. _____ _____ _____ _____ _____ 【课堂达标】 1.已知a=(1,1,0),b=(0,1,1),c=(1,0,1),p=a-b,q=a+2b-c,则p·q等于 ( ) A.-1 B.1 C.0 D.-2 2.向量a=(2,4,x),b=(2,y,2),若|a|=6,且a ... ... 