第2章 培优点　空间直角坐标系的构建策略（课件+学案，共2份）湘教版（2019）选择性必修第二册

培优点　空间直角坐标系的构建策略 利用空间向量的方法解决立体几何中空间元素的位置关系、空间角、空间距离等问题,关键是依托图形建立适当空间直角坐标系,将直线的方向向量、平面的法向量用坐标表示,通过向量运算完成.如何建立空间直角坐标系,写出点的坐标是前提,下面主要介绍空间直角坐标系建系的几种方法. 类型一　利用共顶点的互相垂直的三条棱 例1 如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,BC=4,AB=BB1=2,点E是BB1的中点. (1)求BD1与AE所成角的余弦值; (2)求BD1与平面ACE所成角的正弦值. _____ _____ _____ _____ _____ 类型二　利用线面垂直关系构建 例2 如图,四棱锥P-ABCD中,PA⊥底面ABCD,AD∥BC,AB=AD=AC=3,PA=BC=4,M为线段AD上一点,AM=2MD,N为PC的中点.求直线AN与平面PMN所成角的正弦值. _____ _____ _____ _____ _____ 类型三　利用面面垂直关系构建 例3 如图,已知三棱柱ABC-A1B1C1,平面A1ACC1⊥平面ABC,∠ABC=90°,∠BAC=30°, A1A=A1C=AC,E,F分别是AC,A1B1的中点. (1)证明:EF⊥BC; (2)求直线EF与平面A1BC所成角的余弦值. _____ _____ _____ _____ _____ 类型四　利用底面的高及中心构建 例4 如图,在正四棱锥S-ABCD中,AB=2,SA=3,P为侧棱SD上的点. (1)若SD⊥平面PAC,求平面PAC与平面DAC所成角的余弦值; (2)若SP=2PD,侧棱SC上是否存在一点E(不与点S,C重合),使得BE∥平面PAC 若存在, 求出SE∶EC的值;若不存在,请说明理由. _____ _____ _____ _____ _____ 培优点　空间直角坐标系的构建策略 例1　解　(1)在长方体ABCD-A1B1C1D1中,BC=4,AB=BB1=2, 如图,以A为原点,AB,AD,AA1为x,y,z轴建立空间直角坐标系, 则A(0,0,0),B(2,0,0),C(2,4,0),D1(0,4,2),E(2,0,1), 所以=(-2,4,2),=(2,0,1), 则cos<,, 则BD1与AE所成角的余弦值为. (2)设平面ACE的法向量为n=(x,y,z), 又=(2,4,0),=(2,0,1), =(-2,4,2), 所以 令y=1,则n=(-2,1,4), 所以cos<,n>=, 故BD1与平面ACE所成角的正弦值为. 例2　解　取BC的中点E,连接AE. 由AB=AC得AE⊥BC, 从而AE⊥AD, AE=. 以A为坐标原点,的方向为x轴正方向,建立如图所示的空间直角坐标系Axyz. 由题意知,P(0,0,4),M(0,2,0),C(,2,0),N, =(0,2,-4),,. 设n=(x,y,z)为平面PMN的法向量, 则 可取n=(0,2,1). 于是|cos|=, 所以cos θ=, 则直线EF与平面A1BC所成角的余弦值为. 例4　解　(1)如图,连接BD,交AC于点O,连接SO,由题意,知SO⊥平面ABCD,AC⊥BD, ∴OS,OB,OC两两垂直. 以O为坐标原点,,,的方向分别为x轴,y轴,z轴的正方向,建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz. ∵AB=2,SA=3,∴SO=. 由题意得S(0,0,),D(-,0,0), ∴=(,0,). ∵SD⊥平面PAC, ∴平面PAC的一个法向量为=(,0,). 又平面DAC的一个法向量为=(0,0,), ∴cos<,, ∴所求角的余弦值为. (2)假设在棱SC上存在一点E, 使得BE∥平面PAC. 如图,在SC上取点E,连接BE. 由题意,得. 又A(0,-,0),B(,0,0),C(0,,0), ∴=(0,2,0),=(-,,0), =(0,-,),=(-,,0), ∴=(-,,0)+. 设平面PAC的法向量为n=(x,y,z), 则 令x=1,得n=为平面PAC的一个法向量. 设(0