章末复习提升 要点一 空间向量的概念及运算 空间向量可以看作是平面向量的推广,有许多概念和运算与平面向量是相同的,如模、零向量、单位向量、相等向量、相反向量等概念,加减法的三角形法则和平行四边形法则,数乘运算与向量共线的判断、数量积运算、夹角公式、求模公式等等. 例1 (1)如图所示,在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,=a,=b,=c.M是C1D1的中点,点N是CA1上的点,且CN∶NA1=4∶1.用a,b,c表示以下向量: ①;②. (2)如图所示,在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,以顶点A为端点的三条棱长都为1,且两两夹角为60°. ①求的长; ②求夹角的余弦值. _____ _____ _____ _____ _____ 训练1 (多选)如图,在四棱锥S-ABCD中,底面ABCD是边长为1的正方形,S到A,B,C,D的距离都等于2,则以下结论正确的是 ( ) A.=0 B.()·()=0 C.=0 D. 要点二 利用空间向量证明线、面位置关系 用空间向量判断空间中线、面位置关系的类型与方法总结: (1)线线平行:证明两条直线平行,只需证明两条直线的方向向量是共线向量. (2)线线垂直:证明两条直线垂直,只需证明两条直线的方向向量垂直. (3)线面平行:用向量证明线面平行的方法主要有:①证明直线的方向向量与平面的法向量垂直;②证明可在平面内找到一个向量与直线的方向向量是共线向量. (4)线面垂直:用向量证明线面垂直的方法主要有:①证明直线的方向向量与平面的法向量平行;②利用线面垂直的判定定理转化为线线垂直问题. (5)面面平行:①证明两个平面的法向量平行(即是共线向量);②转化为线面平行、线线平行问题. (6)面面垂直:①证明两个平面的法向量互相垂直;②转化为线面垂直、线线垂直问题. 例2 在四棱锥P-ABCD中,AB⊥AD,CD⊥AD,PA⊥底面ABCD,PA=AD=CD=2AB=2,M为PC的中点. (1)求证:BM∥平面PAD; (2)平面PAD内是否存在一点N,使MN⊥平面PBD 若存在,确定N的位置;若不存在,说明理由. _____ _____ _____ _____ _____ 训练2 如图所示,已知四棱锥P-ABCD的底面是直角梯形,∠ABC=∠BCD=90°,AB=BC=PB=PC=2CD,侧面PBC⊥底面ABCD.证明: (1)PA⊥BD; (2)平面PAD⊥平面PAB. _____ _____ _____ _____ _____ 要点三 利用空间向量求距离 空间中两种距离的计算公式 (1)直线l外一点P到直线l的距离:PQ=(其中A是l上的定点,在l上的投影向量,=a,u是l的单位方向向量). (2)平面α外一点P到平面α的距离:PQ=(其中A是平面α内的定点,n是平面α的法向量). 例3 已知四边形ABCD是边长为4的正方形,E,F分别是AB,AD的中点,CG垂直于正方形ABCD所在的平面,且CG=2,求点B到平面EFG的距离. _____ _____ _____ _____ _____ 训练3 如图所示,在四棱锥P-ABCD中,ABCD是矩形,PA⊥平面ABCD,PA=AB=3,BC=2,E是PB上一点,且BE=2EP,求点E到直线PD的距离. _____ _____ _____ _____ _____ 要点四 利用空间向量求空间角 空间中三种角的计算公式 (1)两条异面直线所成的角θ:cos θ=|cos|=(其中u,v分别是两异面直线的方向向量). (2)直线和平面所成的角θ:sin θ=|cos|=(其中u是直线的方向向量,n是平面的法向量). (3)两个平面所成的角θ:cos θ=|cos|=(其中n1,n2分别是两平面的法向量). 例4 如图所示,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=5,AD=8,AA1=4,M为B1C1上一点且B1M=2,点N在线段A1D上,A1D⊥AN. (1)求cos<,>; (2)求直线AD与平面ANM所成角的正弦值; (3)求平面ANM与平面ABCD所成角的余弦值. _____ _____ _____ _____ _____ 训练4 如图,AE⊥平面ABCD,CF∥AE,AD∥BC,AD⊥AB,AB=AD=1,AE=BC=2. (1)求证:BF∥平面ADE; (2)求直线CE与平面BDE所成角的正弦值; (3)若平面EBD与平面FBD所成角的余弦值为,求线段CF的长. _____ _____ _____ _____ _____ 章末复习提升 例1 解 (1)①() =[()+()] =() =a+b+c. ② =() = =a+b+c. (2)记=a,=b,= ... ...
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