2025年湖南省长沙市长郡中学高考数学演练试卷（一）（含答案）

2025年湖南省长沙市长郡中学高考数学演练试卷（一） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.已知，则( ) A. B. C. D. 2.在数列中，则“”是“数列为等差数列”的( ) A. 充分不必要 B. 必要不充分 C. 充要 D. 既不充分又不必要 3.已知集合，且，则集合可以是( ) A. B. C. D. 4.已知，则( ) A. B. C. D. 5.在棱长为的正方体中，，分别是棱，的中点，过作平面，使得，则直线与平面所成角的正弦值为( ) A. B. C. D. 6.已知抛物线：的焦点为，过上一点作的准线的垂线，垂足为，若，则( ) A. B. C. D. 7.记的内角，，所对的边分别为，，，若，则边上的中线长度的最小值为( ) A. B. C. D. 8.探究函数，，下列说法正确的是( ) A. 有且只有一个极大值点 B. 在上单调递增 C. 存在实数，使得 D. 有最小值，最小值为 二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 9.已知，为随机事件，，，则下列结论正确的有( ) A. 若，为互斥事件，则 B. 若，为互斥事件，则 C. 若，相互独立，则 D. 若，则 10.三角形的布洛卡点是法国数学家克洛尔于年首次发现，当内一点满足条件：时，则称点为的布洛卡点，角为布洛卡角如图，在中，角，，所对的边分别为，，，记的面积为，点是的布洛卡点，布洛卡角为，则( ) A. 当时， B. 当且时， C. 当时， D. 当时， 11.已知抛物线的焦点为，准线为，点在上，，垂足为，直线与相交于，两点若为的三等分点，则( ) A. B. C. D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.已知向量，满足，，，则 _____． 13.若关于的不等式在上恒成立，则正数的最小值为_____． 14.设，为平面上两点，定义，已知点为抛物线上一动点，点是直线：上一动点，则的最小值为_____． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15.本小题分 已知函数． 若曲线在点处的切线的斜率为，求的值； 讨论的零点个数． 16.本小题分 如图所示，在直三棱柱中，，，为中点，且，． 求证：； 求平面与平面夹角的余弦值． 17.本小题分 向“新”而行，向“新”而进，新质生产力能够更好地推动高质量发展如人工智能中的大语言模型以下简称为调查的应用是否会对相关从业人员的数量产生影响，某学校研究小组随机抽取了名视频从业人员进行调查，结果如下表所示： 的应用情况 相关从业人员 合计 减少 未减少 应用 没有应用 合计 根据所给数据完成上表，并判断是否有的把握认为的应用与相关从业人员的减少有关？ 某公司视频部现有员工人，公司拟开展培训，分三轮进行，每位员工第一轮至第三轮培训达到“优秀”的概率分别为，每轮相互独立，有二轮及以上获得“优秀”的员工才能应用． (ⅰ)求员工经过培训能应用的概率． (ⅱ)已知开展培训前，员工每人每年平均为公司创造利润万元；开展培训后，能应用的员工每人每年平均为公司创造利润万元；培训平均每人每年成本为万元根据公司发展需要，计划先将视频部的部分员工随机调至其他部门，然后剩余员工开展培训，现要求培训后视频部的年利润不低于员工调整前的年利润，则视频部最多可以调多少人到其他部门？ 附：，其中， 18.本小题分 已知双曲线的对称中心在原点，以坐标轴为对称轴，两条渐近线分别为：和：，其右焦点为． 求双曲线的方程； 直线：与双曲线交于，两点在的上方，过点，分别作，的平行线相交于点，过作的平行线与双曲线交于，两点在的上方，再过点，分别作，的平行线相交于点，，这样一直操作下去，可以得到一系列点证明： ，，，共线； 为定值，，． 19.本小题分 已知等差数列的前项和为，且，当时，． 求数列、的通项公式； 若，求数列的前项和； (ⅱ)根据(ⅰ) ... ...