4.2 一元线性回归模型 课标要求 1.结合具体实例,了解一元线性回归模型的含义. 2.了解模型参数的统计意义,了解最小二乘原理. 3.会求一元线性回归直线方程,针对实际问题,会用一元线性回归模型进行预测. 4.掌握建立线性回归模型的步骤,并会将非线性回归模型转化为线性回归模型解决实际问题. 【知识梳理】 1.回归直线方程与回归分析 (1)回归直线方程 在散点图中,找出与散点图中各点散布趋势相似的直线,使各点 该直线,这样所得到的直线就可以比较科学地反映实际问题中两个变量之间的相关关系,这条直线叫作回归直线,这条直线的方程叫作回归直线方程. (2)回归分析 由散点图求出回归直线并进行统计推断的过程叫作回归分析. ①因变量:在回归分析中,被 的变量称为因变量,用y表示; ②自变量:用来 的变量称为自变量,用x表示; 对于具有相关关系的两个变量,可以用一个线性回归方程来表示它们之间的关系. (3)一元线性回归方程 如果具有相关关系的两个变量x,y可用方程y=a+bx来近似刻画,则称y=a+bx为y关于x的一元线性回归方程,其中 称为回归系数. 2.最小二乘法 (1)最小二乘法的概念 用随机误差的平方和即Q=(yixi)2作为总随机误差来刻画各估计值与实际值之间的误差.若总随机误差最小,则这条直线就是所要求的回归直线.由于平方又叫二乘方,所以这种使“随机误差平方和最小”的方法叫作最小二乘法. (2)系数公式 若令＝xi，＝yi，则Q取最小值时，的计算公式为＝， = . (3)系数的几何意义 用最小二乘法得到的回归直线方程为x,其中是回归直线在y轴上的截距,是回归直线的斜率. 温馨提醒 (1)回归直线过点(,). (2)回归直线的截距都是通过样本估计而得的,存在着误差,这种误差可能导致预报结果的偏差. (3)回归直线方程表示x增加1个单位时,y的平均变化量为,而表示y不随x的变化而变化部分. 3.非线性回归分析 解决非线性回归问题的方法及步骤: (1)确定变量:确定自变量x,因变量y; (2)画散点图:通过观察散点图并与学过的函数(幂函数、指数函数、对数函数、二次函数)做比较,选取拟合效果好的函数模型; (3)变量置换:通过变量置换把非线性回归问题转化为线性回归问题; (4)分析拟合效果:通过计算相关系数等来判断拟合效果; (5)写出非线性回归方程. 【自测检验】 1.思考辨析,判断正误 (1)回归直线方程最能代表观测值x,y之间的线性关系,且回归直线过样本点的中心(,). ( ) (2)任何一组数据都可以由最小二乘法得出回归直线方程. ( ) (3)回归直线方程,的意义是:以为基数,x每增加1个单位,y相应地平均增加或减少||个单位. ( ) 2.设有一个回归直线方程为=-1.5x+2,则变量x增加一个单位时 ( ) A.y平均增加1.5个单位 B.y平均增加2个单位 C.y平均减少1.5个单位 D.y平均减少2个单位 3.(多选)下列有关回归直线方程叙述正确的是 ( ) A.反映与x之间的函数关系 B.反映y与x之间的函数关系 C.表示与x之间不确定关系 D.表示最接近y与x之间真实关系的一条直线 4.若y与x之间的成对样本数据为 x 0 1 2 3 4 y 1 3 5 5 6 则y对x的回归直线一定经过的点是 . 题型一 最小二乘法和一元线性回归方程 例1 某种产品的广告费支出x(单位:百万元)与销售额y(单位:百万元)之间有如下对应数据: x 2 4 5 6 8 y 30 40 60 50 70 (1)画出散点图; (2)求销售额y关于广告支出费用x的回归直线方程. _____ _____ _____ _____ _____ 思维升华 求回归直线方程的一般步骤 (1)收集样本数据,设为(xi,yi)(i=1,2,…,n)(数据一般由题目给出). (2)作出散点图,确定x,y具有线性相关关系. (3)把数据制成表格xi,yi,,xiyi. (4)计算，，x，xiyi. (5)代入公式计算，，公式为 (6)写出回归直线方程. 训练1 某 ... ...
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