4.3 独立性检验 课标要求 1.理解2×2列联表的意义,会依据列联表中数据判断两个变量是否独立. 2.掌握χ2统计量的意义和独立性检验的基本思想. 【知识梳理】 1.2×2列联表 Y X B1 B2 合计 A1 a b a+b A2 c d c+d 合计 a+c b+d n=a+b+c+d 像上表这样,将两个(或两个以上)分类变量进行交叉分类得到的频数分布表称为列联表. 由于所涉及的两个分类变量X,Y均有两个变量值,所以称上表为2×2列联表. 温馨提醒 (1)变量的取值一定是离散的,而且不同的取值仅表示个体所属的类别,如性别变量只取男、女两个值,商品的等级变量只取一级、二级、三级等. (2)变量的取值有时可用数字来表示,但这时的数字除了分类以外没有其他的含义.如用“0”表示“男”,用“1”表示“女”. 2.独立性检验 (1)定义 利用统计量χ2来确定在多大程度上可以认为“两个分类变量有关系”的方法,称为两个分类变量的独立性检验. (2)χ2的计算公式χ2=,其中n= . (3)独立性检验的统计思想 要研究“两个分类变量有关系”这一结论的可靠程度,首先假设该结论不成立,即假设“H0:两个分类变量没有关系(指独立)”成立. (4)在该假设下构造统计量χ2 如果由抽样数据计算得到的χ2的观测值x0≥6.635, 则有[1-P(χ2≥6.635)]×100%的概率说明H0不成立. 我们把P(χ2≥6.635)中的数据6.635称为一个判断可靠程度的临界值. (5)临界值表 P(χ2 ≥x0) 0.50 0.40 0.25 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 x0 0.455 0.708 1.323 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 温馨提醒 独立性检验类似于数学中的反证法,要确认“两个变量有关系”这一结论成立的可信度,首先假设结论不成立,在假设下,我们构造的统计量χ2应该很小,如果由观测数据计算得到的χ2值很大,则在一定程度上说明假设不合理,再根据不合理的程度与临界值的关系作出判断. 【自测检验】 1.思考辨析,判断正误 (1)列联表中的数据是两个分类变量的频数. ( ) (2)事件A与B的独立性检验无关,即两个事件互不影响. ( ) (3)χ2的大小是判断事件A与B是否相关的统计量. ( ) (4)在2×2列联表中,可以利用P(AB)=P(A)P(B)是否成立来判断A与B的独立性. ( ) 2.某机构调查中学生的近视情况,了解到某校150名男生中有80名近视,140名女生中有70名近视,在检验这些中学生眼睛近视是否与性别有关时用什么方法最有说服力 ( ) A.平均数 B.方差 C.回归分析 D.独立性检验 3.下面是一个2×2列联表: y1 y2 合计 x1 a 21 73 x2 8 25 33 合计 b 46 106 则表中a,b的值分别为 ( ) A.94,96 B.52,50 C.52,60 D.54,52 4.已知P(χ2<7.897)=0.095,则P(χ2≥7.897)= . 题型一 2×2列联表 例1 (1)某校为了检验高中数学新课程改革的成果,在两个班进行教学方式的对比试验,两个月后进行一次检测,试验班与对照班成绩统计如2×2列联表所示(单位:人),则其中m= ,n= . 80分及80分以上 80分以下 合计 试验班 32 18 50 对照班 24 m 50 合计 56 44 n (2)在一项有关医疗保健的社会调查中,发现调查的男性有530人,女性有670人,其中男性中喜欢吃甜食的有117人,女性中喜欢吃甜食的有492人,请作出性别与是否喜欢吃甜食的2×2列联表. _____ _____ _____ _____ _____ 思维升华 (1)2×2列联表是对两个分类变量的汇总统计表,列表时关键是对涉及的变量分清类别. (2)制作2×2列联表的基本步骤: 第一步,合理选取两个变量,且每一个变量都可以取两个值; 第二步,抽取样本,整理数据; 第三步,画出2×2列联表. 训练1 在调查的480名男性中有38名患有色盲,520名女性中有6名患有色盲,试作出性别与色盲的列联表. _____ _____ _____ _____ _____ 题型二 对独立性检验的理解 例2 在吸烟与患肺癌是否相关的研究中,下列说法正确的是 ( ) A. ... ...
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