2026全国版高考数学一轮基础知识专题练--链接高考4　导数中的双变量问题（含解析）

中小学教育资源及组卷应用平台 2026全国版高考数学一轮 链接高考4　导数中的双变量问题 1.(2024江苏盐城模拟,17)已知函数f(x)=,其中a>0. (1)若f(x)在(0,2]上单调递增,求a的取值范围; (2)当a=1时,若x1+x2=4且00. (1)求f(x)的单调区间; (2)函数f(x)的图象上是否存在两点A(x1,y1),B(x2,y2)(其中x1≠x2),使得直线AB与函数f(x)的图象在x0=处的切线平行 若存在,请求出直线AB;若不存在,请说明理由. 3.(2025届四川成都月考,19)已知函数f(x)=,其中e为自然对数的底数. (1)当a=1时,求f(x)的单调区间. (2)若方程f(x)=1有两个不同的根x1,x2. (i)求a的取值范围; (ii)证明:>2. 4.(2025届广东广州三校期中联考,18)已知函数f(x)=ln x+x2-x+2(a∈R). (1)若函数f(x)在定义域上单调递增,求a的取值范围; (2)若a=0,求证:f(x)<; (3)设x1,x2(x10. (1)若f(x)在(0,2]上单调递增,求a的取值范围; (2)当a=1时,若x1+x2=4且00,故a的取值范围为(0,1]. (2)f(x1)0,∴h(t)在(0,2)上单调递增,∴h(t)>h(0)=0, ∴ln>t,00. (1)求f(x)的单调区间; (2)函数f(x)的图象上是否存在两点A(x1,y1),B(x2,y2)(其中x1≠x2),使得直线AB与函数f(x)的图象在x0=处的切线平行 若存在,请求出直线AB;若不存在,请说明理由. 解析　(1)由题得函数f(x)的定义域为(0,+∞), (1分) 求导得f '(x)=ax+1-2a-, (4分) 因为a>0, 所以由f '(x)>0,得x>2;由f '(x)<0,得00且t≠1, 记g(t)=ln t-,即g(t)=ln t+-2,t>0且t≠1, 求导得g'(t)=>0恒成立, 所以g(t)在(0,1),(1,+∞)上单调递增, (14分) 因为g(1)=0,所以g(t)≠0在t∈(0,1)∪(1,+∞)上恒成立, 所以不存在这样的两点A,B. (15分) 3.(2025届四川成都月考,19)已知函数f(x)=,其中e为自然对数的底数. (1)当a=1时,求f(x)的单调区间. (2)若方程f(x)=1有两个不同的根x1,x2. (i)求a的取值范围; (ii)证明:>2. 解析　(1)由题意得f(x)=,x∈(0,+∞), 则f '(x)=-,由f '(x)=0,解得x=1. 当00, f(x)单调递增; 当x>1时, f '(x)<0, f(x)单调递减. 所以f(x)的单调递增区间是(0,1),单调递减区间是(1,+∞). (2)(i)由=1,得=a, 设g(x)=,由(1)得g(x)在区间(0,1)内单调递增,在区间(1,+∞)内单调递减, 又g=0,g(1)=1,当x>1时,g(x)>0,且当x→+∞时,g(x)→0,所以当02,即>2; 当x2∈(1,2)时,2-x2∈(0,1). 设p(x)=g(x)-g(2-x)=,00,所以p(x)在区间(0,1)内单调递增, 则p(x)g(x1)=g(x2), 又x1∈(0,1) ... ...