2024-2025学年浙江省杭州市学军中学高三（下）3月月考 数学试卷 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.已知集合，，则中元素的个数为( ) A. B. C. D. 2.已知向量，，，若，反向共线，则实数的值为( ) A. B. C. 或 D. 或 3.已知各项均为正数的数列前项和为，，，，则( ) A. B. C. D. 4.设是锐角，，则( ) A. B. C. D. 5.设，，则“”是“”的( ) A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 6.已知双曲线的左、右焦点分别为，，是双曲线的左顶点，以为直径的圆与双曲线的一条渐近线交于，两点，且，则双曲线的离心率为( ) A. B. C. D. 7.已知函数在区间上单调递增，则的取值范围是( ) A. B. C. D. 8.对任意正整数对，定义函数如下：，，，则( ) A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 9.体育教育既能培养学生自觉锻炼身体的习惯，又能培养学生开拓进取、不畏艰难的坚强性格某校学生参加体育测试，其中甲班女生的成绩与乙班女生的成绩均服从正态分布，且，，则( ) A. B. C. D. 10.如图所示，正方体棱长为，正方形内不含边界一动点在运动过程中始终满足则( ) A. 存在点使得 B. 直线与点的轨迹有公共点 C. 点运动轨迹长为 D. 三棱锥体积最大值为 11.函数的图象类似于汉字“囧”字，被称为“囧函数”，并把其与轴的交点关于原点的对称点称为“囧点”，以“囧点”为圆心，凡是与“囧函数”有公共点的圆，皆称之为“囧圆”，则当，时，下列结论正确的是( ) A. 函数的图象关于直线对称 B. 当时，的最大值为 C. 函数的“囧点”与函数图象上的点的最短距离为 D. 函数的所有“囧圆”中，面积的最小值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.已知复数满足，则 _____． 13.已知的展开式的二项式系数和为，各项系数和为，则其展开式的常数项为_____． 14.我们想把张写着的卡片放入三个不同盒子中，满足每个盒子中都有张卡片，且存在两个盒子中卡片的数字之和相等，则不同的放法有_____种 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15.本小题分 如图，在四边形中，与相交于点，且为的角平分线，，． 求； 若，求四边形的面积． 16.本小题分 如图，在四棱锥中，平面，底面是直角梯形，其中，，，，为棱上的点，且． 求证：平面； 设为棱上的点不与，重合，且直线与平面所成角的正弦值为，求． 17.本小题分 已知实数，设． 若，求函数，的图象在点处的切线方程； 若对于任意的，总存在，使得，求的取值范围． 18.本小题分 在平面直角坐标系中，已知双曲线经过点，点与点关于原点对称，为上一动点，且异于，两点． 求的离心率； 若的重心为，点，求的最小值； 若的垂心为，求动点的轨迹方程． 19.本小题分 对于无穷数列，，，，，我们称为数列的生成函数生成函数是重要的计数工具之一对于给定的正整数，记方程的非负整数解的个数为，则为展开式中前的系数． 写出无穷常数列，，，的生成函数并化简； 证明：； 本次测试共分为十一个大项，前十项各有三个小项，第十一项仅有两个小项学生需参加所有项目获取最终分数计分规则如下：通过第大项中的每一个小项，都可获得分；通过第十一项中的每一个小项，可获得分记为获取分的所有得分组合数，求． 参考答案 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13.或 14. 15.解：中，，，， 由余弦定理可得， 所以， 再由正弦定理，可得， 又因为为的角平分线， 所以． 中，，，， 所以， 从而， 由正弦定理，可得， 而． 16.解：证明：因为平面，平面，平面， 所以，，因为则以为坐标原点，建立如图的空间 ... ...
