中小学教育资源及组卷应用平台 空间向量与立体几何 一、单选题 1．已知空间四边形的四个顶点，，，的坐标分别为，，，，若为平面上的一个动点，则当，且，的夹角取得最小值时，（ ） A． B． C． D． 2．三棱锥的四个顶点都在半径为5的球面上，并且，，则三棱锥的体积的最大值为（ ） A．56 B．48 C．32 D．58 3．在四面体中，，且与所成的角为.若该四面体的体积为，则它的外接球半径的最小值为（ ） A． B．2 C．3 D． 4．在直三棱柱中，，，，分别是BC，的中点，在线段上，则下面说法中不正确的是（ ） A．平面 B．直线EF与平面ABC所成角的余弦值为 C．直三棱柱的外接球半径为 D．直线BD与直线EF所成角最小时，线段BD长为 5．三个相似的圆锥的体积分别为，，，侧面积分别为，，，且，，则实数的最大值为（ ） A． B． C． D． 二、多选题 6．已知在正三棱柱中，，分别为棱，，的中点，动点在侧面内，动点在底面内，则（ ） A．平面 B．沿该三棱柱的表面从点M到达点B的最短路径的长为 C．若点P在线段上（点P与点H不重合），则 D．若点P在线段上，且，则线段中点的轨迹所形成图形的面积为 7．如图，在直四棱柱中，底面为菱形，，P为的中点，点满足，则下列结论正确的是（ ） A．若，则四面体的体积为定值 B．若，则点的轨迹为一段圆弧 C．若的外心为O，则为定值2 D．若且，则存在点E在线段上，使得的最小值为 8．如图，在直三棱柱中，点，，分别是棱，，的中点，直线平面，直线与平面所成角为45°，若，且则下列说法正确的是（ ） A． B．点到平面的距离为 C．五面体的体积为 D．三棱柱的外接球的表面积为 9．如图1所示，在四边形中，，，．如图2所示，把沿边折起，使点不在平面内，连接．则下列选项正确的是（ ） A．当面面时，点到面的距离为 B．异面直线与所成角的取值范围为 C．当二面角的大小为时，三棱锥的外接球的体积为 D．三棱锥的外接球的表面积的最小值为 10．在棱长为2的正方体中，为棱的中点，为棱上一动点，，点在平面内运动，下列说法正确的是（ ） A．三棱锥的体积为定值 B．在动点由运动至的过程中，二面角先增大后减小 C．平面截正方体所得截面图形可能是等腰梯形 D．若为棱的中点，与平面所成角为，则点的轨迹长度为 三、填空题 11．若为平面上两个定点，则满足为常数的动点的轨迹是直线，满足的动点的轨迹是圆.将此性质类比到空间中，解决下列问题：已知点为空间中四个定点，，且两两的夹角都是，若动点满足，动点满足，则的最小值是 . 12．我国南北朝时期的数学家祖暅提出了计算体积的祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”，其意思可描述为：夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平面的任意平面所截，如果截得的两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等．如图，阴影部分是由双曲线与它的渐近线以及直线所围成的图形，将此图形绕轴旋转一周，得到一个旋转体，则这个旋转体的体积为 ． 13．《九章算术》中记录的“羡除”是算学和建筑学术语，指的是一段类似地下车库入口形状的几何体.如图，羡除中，四边形，均为等腰梯形，，，互相平行，平面平面，梯形，的高分别为2，4，且，，，则与平面所成角的正切值为 ，异面直线与所成角的余弦值为 14．已知球的表面积为，正四面体的顶点均在球的表面上，球心为的外心，棱与球面交于点.若平面平面平面平面 且与之间的距离为同一定值，棱分别与交于点，则的值为 . 15．如图，在直三棱柱中，，该三棱柱存在体积为的内切球（与侧面 底面均相切），为的中点，为棱上的动点，当直线 与平面成角相等时， ，此时四面体的外接球表面积为 . 16．在四面体中，点，分别为，的重心，过作直线与棱，交于点，已知，，则 .若四面体的体积为3，则四棱锥的体积 ... ...
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