2025届高一下学期数学期中综合模拟试题（人教A ）（二）

中小学教育资源及组卷应用平台 2025届高一下学期数学期中综合模拟试题（人教A ）（二） 一、单选题 1．已知向量，则（ ） A． B． C． D． 2．在复平面内，复数对应的点位于（ ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 3．在中，角的对边分别为.已知，则（ ） A． B． C． D． 4．已知向量与的夹角为，，，则等于（ ） A． B． C． D． 5．如图，已知等腰直角三角形是一个平面图形的直观图，，斜边，则这个平面图形的面积是（ ） A． B．1 C． D． 6．如图，平行四边形中，是的中点，在线段上，且，记，，则（ ） A． B． C． D． 7．中国古代数学的瑰宝《九章算术》中记载了一种称为“曲池”的几何体，该几何体为上 下底面均为扇环形的柱体（扇环是指圆环被扇形截得的部分）.现有一个如图所示的“曲池”，其高为,底面，底面扇环所对的圆心角为,长度为长度的3倍，且线段，则该“曲池”的体积为（ ） A． B． C． D． 8．已知，，．若点P是△ABC所在平面内一点，且，则的最大值为（ ） A．13 B． C． D． 二、多选题 9．已知为虚数单位，复数满足，则（ ） A．的实部为3 B．的虚部为 C． D．在复平面内对应的点在第四象限 10．南宋数学家秦九韶在《数书九章》中提出“三斜求积术”，即以小斜幂，并大斜幂，减中斜幂，余半之，自乘于上：以小斜幂乘大斜幂，减上，余四约之，为实：一为从隅，开平方得积可用公式，其中a、b、c、S为三角形的三边和面积）表示．在中，a、b、c分别为角A、B、C所对的边，若，且，则下列命题正确的是（ ） A．面积的最大值是 B． C． D．面积的最大值是 11．已知两个非零向量，定义新运算，则（ ） A．当时， B．对于任意非零向量，都有 C．对于不垂直的非零向量，都有 D．若，则 三、填空题 12．已知向量，，若与垂直，则非零向量的坐标可以是 .（写出一个即可） 13．在中，角的对边分别为，且，则的面积为 . 14．勒洛四面体是一个非常神奇的“四面体”，它能在两个平行平面间自由转动，并且始终保持与两平面都接触，因此它能像球一样来回滚动（如图甲），利用这一原理，科技人员发明了转子发动机.勒洛四面体是以正四面体的四个顶点为球心，以正四面体的棱长为半径的四个球的相交部分围成的几何体如图乙所示，若正四面体的棱长为2，则勒洛四面体能够容纳的最大球的表面积为 . 四、解答题 15．已知是虚数单位，复数，m为实数． (1)当实数m满足什么条件时，为纯虚数 (2)若复数在复平面内对应的点位于实轴负半轴，求复数 16．已知向量，且． (1)求； (2)求与的夹角． 17．在中，内角所对的边分别为，且． (1)求角的大小； (2)若，判断的形状并说明理由． 18．如图，一个圆锥挖掉一个内接正三棱柱（棱柱各顶点均在圆锥侧面或底面上），若棱柱侧面落在圆锥底面上．已知正三棱柱底面边长为，高为2． (1)求挖掉的正三棱柱的体积； (2)求该几何体的表面积． 19．“费马点”是由十七世纪法国数学家费马提出并征解的一个问题．该问题是：“在一个三角形内求作一点，使其与此三角形的三个顶点的距离之和最小．意大利数学家托里拆利给出了解答，当的三个内角均小于时，使得的点即为费马点；当有一个内角大于或等于时，最大内角的顶点为费马点．试用以上知识解决下面问题： (1)若是边长为4的等边三角形，求该三角形的费马点到各顶点的距离之和； (2)的内角所对的边分别为，且，点为的费马点． （i）若，求； （ii）求的最小值． 参考答案 1．C 根据平面向量线性运算的坐标表示计算可得. 因为， 所以. 故选：C 2．B 根据复数的乘法运算可得，结合复数的几何意义即可求解. , 所以复数在复平面对应的点的坐标为，位于第二象限. 故选：B 3．B 利用余弦定理计算可得. 由余弦定理可得. 故选：B 4．C 利用平面 ... ...