6.3 二项式定理-2024-2025学年高二下学期数学《考点突破》（人教A版2019选择性必修三）

中小学教育资源及组卷应用平台 6.3 二项式定理 考点一 二项式展开式 【例1】（23-24高二下·新疆省直辖县级单位·阶段练习）计算二项式： (1)化简：； (2)写出的展开式并化简. 【答案】(1) (2) 【解析】（1）因为 ， 所以. （2）因为的展开式的通项为， 所以. 【一隅三反】 1．（24-25湖南）写出的二项展开式 . 【答案】 【解析】因为的展开式的通项为， 所以. 故答案为： 2．（24-25北京）的二项展开式是 ． 【答案】 【解析】 ． 故答案为：． 3．（23-24广东）化简多项式的结果是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】依题意可知，多项式的每一项都可看作，故该多项式为的展开式， 化简．故选：D. 4．（24-25上海）计算 ． 【答案】 【解析】 . 故答案为：. 考点二 二项式指定项的（二项式）系数 【例2-1】（23-24高二下·广西·期中）二项式的展开式中第项的二项式系数为（ ） A． B．15 C． D．20 【答案】D 【解析】二项式展开式的通项为（且）， 所以二项式的展开式中第项的二项式系数为． 故选：D． 【例2-2】（24-25福建）在二项式的展开式中，求： (1)第4项； (2)常数项； (3)有理项． 【答案】(1) (2) (3)，，，， 【解析】（1）的展开式的通项为． 令，则． （2）由（1）中二项式展开式的通项，令，解得，所以常数项为 （3）由（1）中二项式展开式的通项，当时，是有理项， 分别为，，，，． 【例2-3】（1）（23-24重庆沙坪坝 ）展开式中的常数项为－160，则a＝（ ） A．－1 B．1 C．±1 D．2 （2）（2023·四川泸州 ）已知的展开式中存在常数项，则n的可能取值为（ ） A．4 B．5 C．6 D．8 【答案】（1）B （2）C 【解析】（1）的展开式通项为， ∴令，解得， ∴的展开式的常数项为，∴∴故选：B. （2）二项式的展开式的通项为， 令，即，由于，故必为的倍数，即的可能取值为.故选：C 【一隅三反】 1．（23-24高二下·四川自贡·期中）在的展开式中，含的项的二项式系数为 . 【答案】1 【解析】由，， 当，含的项为，其二项式系数为. 故答案为：1 2．（24-25 北京通州·期末）在二项式的展开式中，常数项为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】的通项公式为，常数项时，则， 所以常数项为，故选：D. 3．（2023·西藏拉萨 ）二项式的展开式中的第3项为（ ） A．160 B． C． D． 【答案】C 【解析】因为，所以，故C项正确. 故选：C． 4．（23-24高二下·河南信阳·期末）（多选）展开式的有理项为（ ） A．第1项 B．第2项 C．第5项 D．第8项 【答案】BCD 【解析】展开式通项， 由，得，所以展开式的有理项为第项. 故选：BCD. 5．（2024·河南 ）已知（其中）的展开式中的第7项为7，则展开式中的有理项共有（ ） A．6项 B．5项 C．4项 D．3项 【答案】D 【解析】展开式的第7项为， 由题意，得，，（），所以，， 则展开式的通项为，， 令，则，所以展开式中的有理项共有3项. 故选：D. 考点三 二项式系数性质 【例3】（24-25高二上·湖南长沙·期末）若展开式中只有第项的二项式系数最大，则（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为展开式中只有第项的二项式系数最大，则其展开式中共项， 所以，，解得.故选：D. 【一隅三反】 1．（24-25高二上·辽宁沈阳·期末）在的二项展开式中，只有第四项的二项式系数最大，则展开式的项数是（ ） A．7 B．8 C．9 D．10 【答案】A 【解析】在二项式的展开式中，当为偶数时，中间一项的二项式系数最大； 当为奇数时，中间两项的二项式系数相等且最大. 因为在的二项展开式中，只有第四项的二项式系数最大， 所以为偶数，且中间项为第项，即，解得. 因二项式展开式的项数为，则展开式的项数是项. 故选：A. 2．（24-25高二上·山东德州·阶段练习）的展开式中，前项 ... ...