天津市南开区2025届高三下学期质量监测（一）数学试卷（含答案）

天津市南开区2025届高三下学期质量监测（一）数学试卷 一、单选题：本题共9小题，每小题5分，共45分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.若集合，则( ) A. B. C. D. 2.设，则“”是“”的( ) A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3.设，则( ) A. B. C. D. 4.如图是由一组实验数据得到的散点图，以下四个回归方程类型中适合作为与的回归方程类型的是( ) A. B. C. D. 5.已知是奇函数，则( ) A. B. C. D. 6.把函数图象上所有点的横坐标伸长到原来的倍，纵坐标不变，再把所得曲线向左平移个单位长度，得到函数的图象，且的图象关于点中心对称，则函数的解析式可能是( ) A. B. C. D. 7.已知函数在上单调递减，则实数的取值范围为( ) A. B. C. D. 8.如图，在平行六面体中，是线段上的一点，且，则三棱锥的体积与平行六面体的体积之比为( ) A. B. C. D. 9.设双曲线的左、右顶点分别是，点是的一条渐近线上一点，若，则的离心率为( ) A. B. C. D. 二、填空题：本题共6小题，每小题5分，共30分。 10.是虚数单位，若复数为纯虚数，则 ． 11.若的展开式的二项式系数和为，且的系数为 ． 12.已知圆与抛物线的准线相切于点为的焦点，则直线被圆截得的弦长为 ． 13.有编号分别为的个盒子，第个盒子中有个白球个黑球，其余盒子中均为个白球个黑球．现从第个盒子中任取一球放入第个盒子，再从第个盒子中任取一球放入第个盒子，则从第个盒子中取到白球的概率是 ；从第个盒子中取到白球的概率是 ． 14.在中，，若点为的中点，点满足，点为与的交点，用和表示 ；则的余弦值为 ． 15.已知，若方程有四个不同的实数根，则实数的取值范围为 ． 三、解答题：本题共5小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 16.在中，内角的对边分别为，且． 求边的长； 求的值； 求的值． 17.如图，在四棱锥中，平面平面，为棱上一点，且． 求证：平面； 求直线与平面所成角的正弦值； 求平面与平面夹角的余弦值． 18.已知椭圆的中心为坐标原点，对称轴为轴，轴，且过两点． 求的方程； 过点，斜率不为的直线与椭圆交于两点，点，直线与轴交于，与轴交于，直线与轴交于，与轴交于若，求直线的斜率． 19.已知公差大于的等差数列的前项和为，且是的等比中项． 求的通项公式及； 记为在区间内项的个数，为数列的前项和． 若，求的最大值； 设，证明：． 20.已知函数． 求曲线在点处的切线方程； 若在区间上恒成立，求实数的取值范围； 若方程有两个不同的实数解，证明：． 参考答案 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14.； 15. 16.因为，由正弦定理可知， 由余弦定理可得，即， 解得，故． 由及，得， 由正弦定理，得， 解得． 由得，所以． 所以． 所以 17.取中点，连接，因为，所以． 又面面，面，面面， 所以平面． 以为原点，所在直线分别为轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则 所以． 设为平面的一个法向量，则，得 令，则，从而． 因为，所以． 因为，所以，又平面，则平面． 设与平面的夹角为，则． 显然，平面的一个法向量为， 设平面与平面夹角为，则． 18.设的方程为且， 将两点代入得，解得， 故的方程为． 依题意，设直线， 联立，消去整理得， 则，即，且． 直线，直线， 令，则， 令，则， 由，得，即， 整理得， 因为，所以，解得， 所以直线的斜率为． 19.设等差数列的公差为， 依题意，，即， ，即， 将代入得，因为，解得， 所以． 令，即，解得， 所以，即的通项公式为 所以． 又，所以． 由，得， 因为， 所以的最大值为． 由知，则，所以． 设， 则， 得， 所以． 因为， 所以． 综上，． 20.，则切线的斜率为，又， 所以处的切线方程为，即． ， 当时，；当 ... ...