2025年九年级中考数学三轮冲刺训练高频考点突破圆的切线的证明及圆中锐角三角函数综合（含解析）

中小学教育资源及组卷应用平台 2025年九年级中考数学三轮冲刺训练高频考点突破 圆的切线的证明及圆中锐角三角函数综合 1．如图，在△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，⊙O经过A、C两点，交AB于点D，CO的延长线交AB于点F，DE∥CF交BC于点E． （1）求证：DE为⊙O的切线； （2）若AC＝4，tan∠CFD＝2，求⊙O的半径． 2．如图，在⊙O中，AB是直径，AE是弦，点F是上一点，，AE，BF交于点C，点D为BF延长线上一点，且∠CAD＝∠CDA． （1）求证：AD是⊙O的切线． （2）若BE＝4，AD＝2，求⊙O的半径长． 3．如图，AB是⊙O的直径，AC是一条弦，点D是的中点，DN⊥AB于点E，交AC于点F，连结DB交AC于点G． （1）求证：AF＝DF； （2）延长GD至点M，使DM＝DG，连结AM． ①求证：AM是⊙O的切线； ②若DG＝6，DF＝5，求⊙O的半径． 4．如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB为⊙O的直径，过点D作DF⊥BC，交BC的延长线于点F，交BA的延长线于点E，连接BD．若∠EAD+∠BDF＝180°． （1）求证：EF为⊙O的切线． （2）若BE＝10，sin∠BDC，求⊙O的半径． 5．如图，CD是⊙O的直径，弦AB⊥CD，垂足为点F，点P是CD延长线上一点，DE⊥AP，垂足为点E，∠EAD＝∠FAD． （1）求证：AE是⊙O的切线； （2）若PA＝4，PD＝2，求⊙O的半径和DE的长． 6．如图，AB为⊙O的直径，E为⊙O上一点，点C为的中点，过点C作CD⊥AE，交AE的延长线于点D，延长DC交AB的延长线于点F． （1）求证：CD是⊙O的切线； （2）若DE＝1，DC＝2，求⊙O的半径长． 7．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠BAC的平分线AD交BC于点D，∠ADC的平分线DE交AC于点E．以AD上的点O为圆心，OD为半径作⊙O，恰好过点E． （1）求证：AC是⊙O的切线； （2）若CD＝12，tan∠ABC，求⊙O的半径． 8．如图，已知⊙O的圆心O在△ABC的边AC上，与AC相交于A、E两点，且与边BC相切于点D，连结DE． （1）若BA＝BD，求证：AB是⊙O的切线； （2）若CD＝4，CE＝2，求⊙O的半径． 9．如图，以△ABC的边AB为直径作⊙O，分别交AC，BC于点D，E，点F在BC上，∠CDF＝∠ABD． （1）求证：DF是⊙O的切线； （2）若，tan∠CDF，BC，求⊙O的半径． 10．如图，AB是⊙O的直径，点E，C在⊙O上，点C是的中点，AE垂直于过C点的直线DC，垂足为D，AB的延长线交直线DC于点F． （1）求证：DC是⊙O的切线； （2）若AE＝2，sin∠AFD， ①求⊙O的半径； ②求线段DE的长． 11．如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB为⊙O的直径，点E为⊙O上一点，EF∥AC交AB的延长线于点F，CE与AB交于点D，连接BE，若∠BCE∠ABC． （1）求证：EF是⊙O的切线． （2）若BF＝2，sin∠BEC，求⊙O的半径． 12．如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB是直径，OD⊥OC，连接AD，∠ADO＝∠BOC，AC与OD相交于点E． （1）求证：AD是⊙O的切线； （2）若tan∠OAC，AD，求⊙O的半径． 13．如图，在⊙O中，AB为⊙O的直径，点E在⊙O上，D为的中点，连接AE，BD并延长交于点C．连接OD，在OD的延长线上取一点F，连接BF，使∠CBF∠BAC． （1）求证：BF为⊙O的切线； （2）若AE＝4，OF，求⊙O的半径． 14．如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB为⊙O的直径，过点C作CE⊥AD交AD的延长线于点E，延长EC，AB交于点F，∠ECD＝∠BCF． （1）求证：CE为⊙O的切线； （2）若DE＝1，CD＝3，求⊙O的半径． 15．如图，点C在以AB为直径的⊙O上，点D是BC的中点，连接OD并延长交⊙O于点E，作∠EBP＝∠EBC，BP交OE的延长线于点P． （1）求证：PB是⊙O的切线； （2）若AC＝2，PD＝6，求⊙O的半径． 参考答案 1．【解答】（1）证明：连接OD， ∵AC＝BC，∠ACB＝90°， ∴△ACB为等腰直角三角形， ∴∠CAB＝45°， ∴∠COD＝2∠CAB＝90°， ∵DE∥CF， ∴∠COD+∠EDO＝180°， ∴∠EDO＝90° ∴DE为⊙O的切线； （2）解：过点C作CH⊥AB ... ...