江苏省南京市江浦高级中学文昌校区2024-2025学年高二（下）3月段考数学试卷（PDF版，含答案）

江苏省南京市江浦高级中学文昌校区 2024-2025 学年高二（下）3 月段 考数学试卷 一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.已知函数 ( ) = ，则 ′( ) =( ) 4 √ 2 1 √ 2 √ 3 A. B. C. D. 2 2 2 2 2.若向量 = (2,2,3)， = ( 1,2,1)， = (0,1,1)，则 ( + ) =( ) A. 5 B. 8 C. 10 D. 12 3.如图， 是四面体 的棱 的中点，点 在线段 上，点 在线段 上，且 = 1 3 ， = ，用向量 ， ， 表示 ，则 =( ) 2 4 1 1 1A. + + 4 4 4 1 1 1B. + + 3 3 3 1 1 1 C. + + 4 3 3 1 1 1 D. + + 3 4 4 4.已知 = (2, 1,3)， = ( 1,4, 2)， = (7,5, )，若{ , , }不能构成空间的一个基底，则实数 的值为( ) 35 65 A. 0 B. C. 9 D. 7 7 5.若函数 ( ) = 3 + 2 + 无极值，则 的取值范围是( ) A. ( √ 3, √ 3) B. [ √ 3, √ 3] C. ( 3,3) D. [ 3,3] 6.在棱长为2的正方体 1 1 1 1中，点 ， 分别为棱 、 1的中点，则点 到直线 的距离为( ) 2√ 5 21 √ 115 √ 105 A. B. C. D. 5 5 5 5 1, ≤ 0 7.已知函数 ( ) = {| |, > 0 ，若 ( ) = ( ) 至少有三个不同的零点，则实数 的取值范围是( ) 1 1 A. (0, ) B. (0, ] C. (0, ) D. (0, ] 2 8.设1 < < 2，则 = ， = ( )2， = 2 的大小关系是( ) A. < < B. < < C. < < D. < < 二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 9.下列函数的求导运算正确的是( ) 第 1 页，共 8 页 1 A. ( 3 + )′ = 3 2 + 1 B. [ln(2 + 1)]′ = 2 +1 ( 1) C. [sin(2 )]′ = 2 2 D. ( )′ = 1 10.若函数 ( ) = 2 9 在区间[ 1, + 1]上单调，则实数 的取值范围可以是( ) 2 A. ≥ 4 B. ≤ 2 C. 1 < ≤ 2 D. 0 < ≤ 3 11.如图，在正方体 1 1 1 1中， 为棱 1的中点， 为正方形 1 1 内一动点(含边界)，则下列说法正确的是( ) A. 三棱锥 1 1 的体积为定值 B. 若 1 //平面 1 ，则动点 的轨迹是一条线段 C. 存在 点，使得 1 ⊥平面 1 D. 若直线 1 与平面 1 1所成角的正切值为2，那么点 的轨迹是以 1为圆心，半棱长为半径的圆弧 三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。 12.已知向量 = ( + 1,0,2 ), = (6, 1,2)，若 // ，则 + 的值是_____． 13.若直线 的方向向量为 = (2, 3,√ 3)，向量 = (1,0,0)是平面 的一个法向量，则直线 与平面 所成角 的大小为_____． 14.若过点(2, )有三条直线与函数 ( ) = ( 1)3 3 + 1的图象相切，则实数 的取值范围为_____． 四、解答题：本题共 5 小题，共 60 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15.(本小题12分) 9 已知函数 ( ) = 3 2 + 6 ． 2 (1)若 = 0，求 = ( )在(1, (1))处的切线方程； (2)若方程 ( ) = 0有且仅有一个实数根，求实数 的取值范围． 16.(本小题12分) 已知函数 ( ) = + 1( ∈ )． (1)讨论函数 ( )的单调性与极值； (2)若对任意 > 0， ( ) ≥ 2 恒成立，求实数 的取值范围． 17.(本小题12分) 如图，已知 1 1 1 1是底面边长为2的正四棱柱， 1为 1 1与 1 1的交点， 为 与 的交点． 第 2 页，共 8 页 (1)证明： 1 //平面 1 1； √ 2 (2)若点 1到平面 1 1的距离为 ，求正四棱柱 1 1 1 2 1的高． 18.(本小题12分) 如图1，等腰直角△ 的斜边 = 4， 为 的中点，沿 上的高 折叠，使得二面角 为60°， 如图2， 为 的中点． (1)证明： ⊥ ． (2)求二面角 的余弦值． (3)试问在线段 上是否存在点 ，使得直线 与平面 所成角的正弦值为√ 2？若存在，求出线段 的 10 长度；若不存在，请说明理由． 19.(本小题12分) 如图， 是半圆 的直径， 为 中点， ⊥ ，| | = 2，直线 ⊥ ，点 为 上一动点(包括 ， 两点)， 与 关于直线 对称，记∠ = ， ⊥ ， 为垂足， ⊥ ， 为垂足． (1)记 的长 ... ...