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课件网) 7.4.2 超几何分布 人教A版（2019）选择性必修三 素养目标 1.通过具体实例，了解超几何分布，提升逻辑推理能力 2. 掌握超几何分布及其均值，并能解决简单的实际问题，提升数学运算能力 重点 难点 新课导入 思考一下：已知100件产品中有8件次品，分别采用有放回和不放回的方式随机抽取4件.设抽取的4件产品中次品数为X，求随机变量X的分布列. 如果采用有放回抽样，则每次抽到次品的概率为0.08，且各次抽样的结果相互独立，此时X服从二项分布，即 X~B(4,0.08) 思考一下：如果采用不放回抽样，那么抽取的4件产品中次品数X是否也服从二项分布？如果不服从，那么X的分布列是什么？ 新课学习 采用不放回抽样，虽然每次抽到次品的概率都是0.08，但每次抽取不是同一个试验，而且各次抽取的结果也不独立，不符合n重伯努利试验的特征，因此X不服从二项分布. 新课学习 计算的具体结果（精确到0.00001）如表所示. X 0 1 2 3 4 p 0.71257 0.25621 0.02989 0.00131 0.00002 新课学习 思考一下：计算结果数时, 考虑抽取的次序和不考虑抽取的次序, 对分布列的计算有影响吗 为什么 不影响 因为不考虑抽取次序时 考虑抽取次序时 故是否考虑抽取次序对分布列的计算没有影响. 新课学习 超几何分布的概念 一般地，假设一批产品共有N件，其中有M件次品.从N件产品中随机抽取n件（不放回），用X表示抽取的n件产品中的次品数，则X的分布列为 如果随机变量X的分布列具有上式的形式，那么称随机变量X 服从超几何分布. 新课学习 超几何分布的符号表示 若随机变量 X 服从超几何分布, 则记为 X~H(n,M,N), 并将 记为 H(k;n,M,N) ，其中k 表示样本中的次品数, n 表示样本容量， M 表示次品总数， N表示总体中的个体总数. 新课学习 例1 从50名学生中随机选出5名学生代表，求甲被选中的概率. 设X表示选出的5名学生中含甲的人数（只能取0或1），则X服从超几何分布，且因此甲被选中的概率N=50,M=1,n=5.因此甲被选中的概率为 新课学习 例2 一批零件共有 30 个, 其中有 3 个不合格. 随机抽取 10 个零件进行检测, 求至少有 1 件不合格的概率. 设抽取的 10 个零件中不合格品数为 X, 则 X 服从超几何分布, 且 N=30, M=3, n=10.X 的分布列为 至少有 1 件不合格的概率为 也可以按如下方法求解： 新课学习 探究思考：服从超几何分布的随机变量的均值是什么？ 随机变量X服从超几何分布，则X可以解释为从包含M件次品的N件产品中，不放回地随机抽取n件产品中的次品数. 新课学习 探究思考：服从超几何分布的随机变量的均值是什么？ 因为 所以 新课学习 例3 一个袋子中有100个大小相同的球，其中有40个黄球、60个白球，从中随机地摸出20个球作为样本.用X表示样本中黄球的个数. （1）分别就有放回摸球和不放回摸球，求X的分布列； 分析：因为只有两种颜色的球，每次摸球都是一个伯努利试验. 摸出 20 个球，采用有放回摸球，各次试验的结果相互独立， X~B(20,0.4) ；而采用不放回摸球，各次试验的结果不独立, X 服从超几何分布. 新课学习 对于有放回摸球，每次摸到黄球的概率为0.4，且各次试验之间的结果是独立的，因此X~B(20,0.4)，X的分布列为 对于不放回摸球，各次试验的结果不独立，X服从超几何分布，X的分布列为 新课学习 （2）分别就有放回摸球和不放回摸球，用样本中黄球的比例估计总体中黄球的比例，求误差不超过0.1的概率. 利用统计软件可以计算出两个分布列具体的概率值（精确到0.00001），如表所示. 新课学习 样本中黄球的比例 f20= 是一个随机变量，根据表计算得 有放回摸球： P(|f20-0.4|≤0.1)=P(6≤X≤10)=P(X=6)+P(X=7)+P(X=8)+P(X=9)+P(X=10)≈0.7469 不放回摸球：P(|f20-0.4|≤0.1)=P(6≤X≤10) ... ...
