2025年天津市和平区高考数学一模试卷（含答案）

2025年天津市和平区高考数学一模试卷 一、单选题：本题共9小题，每小题5分，共45分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.已知集合，，则( ) A. B. C. D. 2.已知，则“”是“”的( ) A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3.已知函数是偶函数，则实数( ) A. B. C. D. 4.某物理量的测量结果服从正态分布，下面结论中不正确的是( ) A. 该物理量在一次测量中小于的概率为 B. 该物理量在一次测量中小于与大于的概率相等 C. 该物理量在一次测量中落在与落在的概率相等 D. 越小，该物理量在一次测量中在的概率越大 5.已知，，则，，的大小关系为( ) A. B. C. D. 6.已知直线：经过抛物线的焦点，直线与圆相交于，两点，且，则实数的值等于( ) A. B. C. 或 D. 或 7.关于函数，下面结论成立的是( ) A. 在区间上的最大值为 B. 在区间上单调递增 C. D. 的图象关于点对称 8.已知正四面体四个面都是正三角形，其内切球与四面体各个面都相切的球的表面积为，设能装下正四面体的最小正方体的体积为，正四面体的外接球四面体各顶点都在球的表面上的体积为，则( ) A. B. C. D. 9.已知是双曲线的右焦点，过点作垂直于轴的直线与双曲线交于，两点，，分别为双曲线的左、右顶点，连接交轴于点，连接并延长交于点，且，则双曲线的离心率为( ) A. B. C. D. 二、填空题：本题共6小题，每小题5分，共30分。 10.为虚数单位，复数的实部为_____． 11.在的展开式中，的系数为_____用数字作答 12.袋子中装有球，其中个黑球，个白球，若依次随机取出个球，则在第一次取到黑球的条件下，第二次取到白球的概率为_____；若随机取出个球，记取出的球中白球的个数为，则的数学期望 _____． 13.已知正项数列的前项和满足，则 _____． 14.已知平面四边形满足，且，为的中点，则 _____，若，分别为线段，上的动点，且满足，则的最小值为_____． 15.若关于的方程有两个不相等的实根，则实数的取值范围是_____． 三、解答题：本题共5小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 16.本小题分 在中，角，，所对的边分别为，，，已知的面积为，，． Ⅰ求的值； Ⅱ求的值； Ⅲ求的值． 17.本小题分 如图，在四棱锥中，平面平面，，，，，且． Ⅰ求直线与平面所成角的正弦值； Ⅱ求平面与平面的夹角的余弦值； Ⅲ求点到平面的距离． 18.本小题分 椭圆的左、右焦点分别为和，左顶点为，下顶点为，． Ⅰ求椭圆的离心率； Ⅱ已知过的直线与椭圆交于，两点，若在直线上存在一点，使得为面积是的等边三角形，求直线的方程与椭圆的标准方程． 19.本小题分 已知，记无穷数列的前项中的最大值为，最小值为，令． Ⅰ若，求数列的通项公式与其前项和； Ⅱ若数列为递增的等差数列，判断数列是否也一定为递增的等差数列，并说明理由； Ⅲ若，，设数列的前项和为，是否存在正整数，，使得，，为等差数列？如果存在，求出所有，的值，如果不存在，请说明理由． 20.本小题分 已知函数，，． Ⅰ若，函数在点处的切线斜率为，求函数的单调区间和极值； Ⅱ试利用Ⅰ结论，证明：； Ⅲ若，，且，不等式恒成立，求的取值范围． 参考答案 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14. 15. 16.解：Ⅰ的面积为，，， 可得， 所以，可得， 将两边平方，可得， 由余弦定理可得； Ⅱ由，所以，即，解得， 由正弦定理可得：， 即； Ⅲ因为，， 所以． 17.解：Ⅰ平面平面，交线为，过在平面内作， 故D平面，又因为， 因此以点为原点，，，所在直线分别为轴，轴，轴，建立如下图所示的空间直角坐标系， 由已知，，，求得， 所以，，，，，， 因为，， 设平面的法向量为， 则， 令，则， 设直线与平面所成角为， ， 则直线与平面所成 ... ...