2024-2025学年天津一中高三（下）统练数学试卷（四） 一、单选题：本题共9小题，每小题5分，共45分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.已知集合，，则( ) A. B. C. D. 2.已知向量，，则“”是“”的( ) A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3.已知一组数据：，，，，，，，，，其中第百分位数是，则该实数的取值范围是( ) A. B. C. D. 4.已知函数是偶函数，则( ) A. B. C. D. 5.如图，高度为的圆锥形玻璃容器中装了水，则下列四个容器中，水的体积最接近容器容积一半的是( ) A. B. C. D. 6.已知是锐角，，则( ) A. B. C. D. 7.设等差数列的前项和为，前项积是，若，，则( ) A. 无最大值，无最小值 B. 有最大值，无最小值 C. 无最大值，有最小值 D. 有最大值，有最小值 8.如图，在高为的圆柱形筒中，放置两个半径均为的小球，两个小球均与筒壁相切，且分别与两底面相切，已知平面与两个小球也相切，平面被圆筒所截得到的截面为椭圆，则该椭圆的离心率为( ) A. B. C. D. 9.已知正方体的棱长为，是棱的中点，空间中的动点满足，且，则动点的轨迹长度为( ) A. B. C. D. 二、填空题：本题共6小题，每小题5分，共30分。 10.是虚数单位，复数的虚部为_____． 11.在的展开式中，含项的系数是_____． 12.已知圆：，点在直线：上若存在过点的直线与圆相交于，两点，且，，则的取值范围是_____． 13.某校举行科技文化艺术节活动，学生会准备安排名同学到甲、乙、丙三个不同社团开展活动，要求每个社团至少安排一人，则不同的安排方案数为_____，如果再加上一名同学且要求甲社团安排三人，乙、丙至少安排一人，则不同的安排方案数为_____． 14.在中，点，分别在边，上，，，若，交于点，则 _____；当，，时，的面积为_____． 15.函数若函数恰有两个不同的零点，则实数的取值范围为_____． 三、解答题：本题共5小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 16.本小题分 在锐角中，角，，的对边分别为，，已知的面积为． Ⅰ求的值； Ⅱ求的值； Ⅲ求的值． 17.本小题分 如图所示，在几何体中，四边形和均为边长为的正方形，，底面，，分别为，的中点，． Ⅰ求证平面； Ⅱ求直线与平面所成角的正弦值； Ⅲ求平面与平面夹角的余弦值． 18.本小题分 已知椭圆：的离心率为，左，右焦点分别为，，过点的直线与椭圆相交于点，，且的周长为． Ⅰ求椭圆的标准方程； Ⅱ椭圆的左，右顶点分别为，，上顶点为，若过且斜率为的直线与椭圆在第一象限相交于点，与直线相交于点，与轴相交于点，且满足，求直线的方程． 19.本小题分 同余定理是数论中的重要内容同余的定义为：设，，且若，则称与关于模同余，记作“”为整除符号． 解同余方程：； 设中方程的所有正根构成数列，其中． 若，数列的前项和为，求； 若，求数列的前项和． 20.本小题分 已知函数，其中． 当时，求函数在点处的切线方程其中为自然对数的底数 已知关于的方程有两个不相等的正实根，，且． (ⅰ)求实数的取值范围； (ⅱ)设为大于的常数，当变化时，若有最小值，求的值． 参考答案 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14. 15. 16.解：Ⅰ 因为的面积为． 所以， 所以，又是锐角三角形， 可得，又由余弦定理可得：， 解得． Ⅱ由正弦定理可得：， 由Ⅰ可得． Ⅲ因为， 所以， 所以，， ，， 所以． 17.解：Ⅰ证明：如图，以为原点，分别以，，方向为轴、轴、轴正方向建立空间直角坐标系， 由题意可得，，，，，， ，，， 则，，， 设平面的一个法向量为， 故，即， 令，得， 所以， 所以，又平面， 所以平面． Ⅱ由Ⅰ得直线的一个方向向量为，平面的一个法向量为， 设直线与平面所成角为， 则， 所以直线与 ... ...
