19.3.2．菱形 第1课时 菱形的性质 知识梳理 1．有一组邻边__相等__的平行四边形叫做菱形． 2．菱形的四条边都__相等__． 3．菱形的对角线互相__垂直__． 菱形既是中心对称图形，又是轴对称图形，一般的任意平行四边形仅是中心对称图形，这是两者的本质区别． 重难突破 重难点 菱形性质定理的运用 【典例】如图，已知菱形ABCD的对角线相交于点O，延长AB至点E，使BE＝AB，连接CE. (1)求证：BD＝EC； (2)若∠E＝50°，求∠BAO的大小． (1)证明：∵四边形ABCD是菱形， ∴AB＝CD，AB∥CD. 又∵BE＝AB， ∴BE＝CD，BE∥CD， ∴四边形BECD是平行四边形， ∴BD＝EC； (2)解：∵四边形BECD是平行四边形， ∴BD∥CE， ∴∠ABO＝∠E＝50°. 又∵四边形ABCD是菱形， ∴AC⊥BD， ∴∠BAO＝90°－∠ABO＝40°. 菱形的对角线互相垂直既是证明直线位置关系的依据，也是计算角之间数量关系的必要条件． 【对点训练】 1．已知：如图，在菱形ABCD中，点E，F分别在AB，AD边上，AE＝AF，连接CE，CF.求证：∠BEC＝∠DFC. 如图，连接AC， ∵四边形ABCD是菱形， ∴∠BAC＝∠DAC. ∵AC＝AC，AE＝AF， ∴△AEC≌△AFC(SAS)， ∴∠AEC＝∠AFC， ∴∠BEC＝∠DFC. 2．如图，已知平行四边形ABCD，O为BD的中点，点E 在AD上，连接EO并延长交BC于点F，连接BE，DF. (1)求证：四边形BEDF是平行四边形； (2)若AB＝3，AD＝6，∠BAD＝135°，当四边形BEDF为菱形时，求AE的长． (1)∵四边形ABCD是平行四边形， ∴BC∥AD， ∴∠ADB＝∠CBD. 又∵O为BD的中点， ∴BO＝OD. ∵在△DOE和△BOF中， ∴△DOE≌△BOF(ASA)， ∴ED＝BF， ∴四边形BEDF是平行四边形； (2)如图，过点B作BH⊥AD，交DA延长线于点H. ∵∠BAD＝135°， ∴∠BAH＝45°. 在Rt△ABH中，AB＝3， ∴2BH2＝AB2＝18， ∴BH＝HA＝3. 设AE＝x，则HE＝3＋x. ∵四边形BEDF为菱形， ∴EB＝ED＝6－x. 在Rt△BHE中，BH2＋HE2＝BE2， ∴32＋(3＋x)2＝(6－x)2， 解得x＝1， ∴AE＝1. 课堂10分钟 1．如图，在菱形ABCD中，P，Q分别是AD，AC的中点，如果PQ＝2，那么菱形ABCD的周长是( A ) A．16 B．8 C．4 D．2 2．如图，在平面直角坐标系中，O是菱形ABCD的对角线BD的中点，AD∥x轴且AD＝8，∠A＝60°，点C的坐标是( D ) A．(4，4) B．(4，－4) C．(6，2) D．(6，－2) 设AD与y轴交于点E，∵四边形ABCD是菱形，∴AD＝AB.∵AD＝8，∠A＝60°， ∴△ABD是等边三角形，则BD＝AD＝8. ∵O是菱形ABCD的对角线BD的中点， ∴OD＝BD＝4.∵AD∥x轴，则∠DEO＝90°， ∴∠EOD＝30°，∴DE＝OD＝2，OE＝＝2，∴A(－6，2). ∵A，C关于点O对称，∴C(6，－2). 3．如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，过点A作AE⊥BC于点E，连接OE.若OB＝6，菱形ABCD的面积为54，则OE的长为( B ) A．4 B．4.5 C．5 D．5.5 4．如图，在菱形ABCD中，AB＝5，BD＝8，点P为线段BD上不与端点重合的一个动点．过点P作直线BC，直线CD的垂线，垂足分别为E，F.连接PA，在点P的运动过程中，PE＋PA＋PF的最小值等于__7.8__． 如图，连接AC交BD于点O，连接PC. ∵四边形ABCD是菱形， ∴AC⊥BD，OB＝BD＝×8＝4，AB＝BC＝CD＝5.在Rt△AOB中，由勾股定理，得OA＝＝＝3， ∴OC＝OA＝3. ∵PE⊥BC，PF⊥CD，S△BCP＋S△CDP＝S△BCD， ∴BC·PE＋CD·PF＝BD·OC， ∴5PE＋5PF＝8×3，解得PE＋PF＝4.8， 即PE＋PF的值为定值4.8，当PA最小时，PE＋PA＋PF有最小值． ∵当PA⊥BD时，PA的最小值＝OA＝3， ∴PE＋PA＋PF的最小值＝4.8＋3＝7.8. 5．如图，在菱形ABCD中，E，F分别是AB和BC上的点，且BE＝BF.求证：DE＝DF. ∵四边形ABCD是菱形， ∴∠A＝∠C，AB＝CB＝AD＝DC. ∵BE＝BF， ∴AB－BE＝CB－BF，即AE＝CF. 在△ADE和△CDF中， ∴△ADE≌△CDF(SAS)， ∴DE＝DF. 6． ... ...
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