平面向量及其应用专项训练（含解析）-2025年高考数学二轮复习卷

中小学教育资源及组卷应用平台 平面向量及其应用专项训练-2025年高考数学二轮复习卷 学校:_____姓名：_____班级：_____考号：_____ 一、单选题 1．已知向量，若，则（ ） A． B． C． D．1 2．已知向量，，则（ ） A．-1 B．-2 C．1 D．0 3．，若，则实数为（ ） A． B． C． D． 4．向量 、满足：，，，则在上的投影向量的模为（ ） A． B． C． D． 5．在中，M是上靠近点B的四等分点，若的面积为，则的最小值为（ ） A．10 B．11 C．12 D．13 6．如图，在三角形中，已知边上的两条中线分别为，且相交于点，则（ ） A． B． C． D． 7．在平面直角坐标系中，圆，若曲线上存在四个点，过动点作圆的两条切线，为切点，满足，则的值可能为（ ） A． B． C． D． 8．设向量的夹角为，定义：.若平面内不共线的两个非零向量满足：，与的夹角为，则的值为（ ） A． B． C． D． 二、多选题 9．设是平面内所有向量的一组基底，则下面四组向量中，可以作为基底的是（ ） A．与 B．与 C．与 D．与 10．已知向量是单位向量，且，则以下结论正确的是（ ） A．向量与夹角为 B． C．向量的夹角为 D．向量在向量上的投影向量为 11．已知点为所在平面内一点，则下列说法正确的是（ ） A．若，则在上的投影向量为 B．若两两的夹角相等，且，则 C．若，且，则为等边三角形 D．若，且，则的面积是面积的 三、填空题 12．已知，则向量在向量上的投影向量坐标为 ． 13．已知为抛物线上的动点，，为圆上的两个不同点，若恰为圆的一条直径，则的最小值为 ；若，均与圆相切，则的最小值为 . 14．乾坤八卦由乾、坤、震、巽、坎、离、艮、兑八个卦象组成，分别代表天、地、雷、风、水、火、山、泽八种自然现象．如图1是八卦模型图，其平面图形记为图2中的正八边形，其中，则下列命题： ①； ②； ③在上的投影向量为； ④若点为正八边形边上的一个动点，则的最大值为4． 其中正确命题的序号是 ． 四、解答题 15．已知向量，，若，，，夹角为． (1)求； (2)当为何值时，向量与向量互相垂直？ 16．如图，在等腰梯形中，，，为线段中点，与交于点， (1)用和表示； (2)求； 17．如图，在中，，点为和的交点，设． (1)若，求的值； (2)若在上，，且，求的取值范围． 18．在中，内角所对的边分别为，且满足. (1)求； (2)若是边上一点，且满足，，求的最大值. 19．在平面直角坐标系中，为坐标原点，对任意两个向量.作：，，当不共线时，记以为邻边的平行四边形的面积为；当共线时，规定. (1)已知，求； (2)若向量，求证：； (3)记，且满足，求的最大值. 《平面向量及其应用专项训练-2025年高考数学二轮复习卷》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B C B C C A B A ABD BD 题号 11 答案 BCD 1．B 【分析】根据向量的数量积的坐标运算，以及垂直的向量的坐标表示，结合，列出方程，即可求解. 【详解】由向量， 因为，可得，解得. 故选：B. 2．C 【分析】应用平面向量数量积坐标公式计算即可. 【详解】因为向量，，所以. 故选：C. 3．B 【分析】由向量平行的坐标表示即可计算得解. 【详解】因为， 所以. 故选：B 4．C 【分析】先由数量积的运算律可得，然后结合投影向量的模长公式代入计算，即可得到结果. 【详解】由可得，即，所以， 所以在上的投影向量的模为. 故选：C 5．C 【分析】根据向量线性运算法则得，根据三角形面积公式化简得，结合基本不等式，根据数量积的运算律求解最值即可. 【详解】 如图，∵ ，∴ ，设在中，所对的边为， 因为，的面积为，所以，即， 所以 ， （当且仅当时取“=”）. 故选：C 6．A 【分析】由平面向量的定理用写出，然后得到和，由向量的夹角公式求得. 【详解】由题意可知， ， ∴， ， ， ∴. 故选：A. 7．B 【分析】根据 ... ...