第五章 三角函数 大单元教学设计

第五章 三角函数 一、单元内容与内容解析 本单元内容结构图如下： 内容： 本单元是教材中已经划分好的“教学单位”，是以核心数学知识为主线的主题类单元。现实世界中存在着大量周期现象，任意角的三角函数就是刻画这种现象的基本而有效的数学模型. 为了建立三角函数概念，本单元我们先把角的范围推广到任意角，并引进弧度制；然后借助单位圆建立了一般三角函数的概念。接着，利用单位圆的性质(主要是对称性)，用几何直观和代数运算的方法研究了三角函数的周期性、对称性、单调性和最大(小)值等性质，和(差)角公式、倍角公式等反映了三角函数之间的内在联系，也是圆的几何性质的代数表示，我们借助单位圆，通过代数运算对这些关系进行了研究.最后，利用三角函数的概念和性质，建立了具有广泛应用价值的函数，并用它解决了许多实际问题。 2、本单元主要教学内容及课时分配如下： （1）任意角和弧度制 约2课时 （2）三角函数的概念 约2课时 （3）诱导公式 约1课时 （4）三角函数的图象与性质 约3课时 （5）三角恒等变换 约4课时 （6）函数 约2课时 （7）三角函数的应用 约1课时 3、内容解析 内容的本质：弧度制的本质是用长度单位来度量角的大小，统一了三角函数自变量和函数值的单位，从而使三角函数成为从实数集到实数集之间的对应。如果只用角度制，那么将导致自变量是60进位的角度、函数值是10进位的实数，例如60°+sin 60°之类的运算将失去意义。所以，弧度制的引入对建立任意角的三角函数概念是至关重要的。在本单元中，三角函数可以刻画振动、波动等大量周期现象，它们的自变量不是角度，而是时间、距离等其他量，这也说明了引入弧度制的必要性。在今后的学习中，我们还会不断体验到引入弧度制对拓展三角函数应用范围的必要性. 将角放在直角坐标系中讨论不但使角的表示有了统一的方法，而且使我们够借助直角坐标系中的单位圆，建立角的变化与单位圆上点的变化之间的对应关系，从用建立正弦函数、余弦函数。因此，正弦函数、余弦函数的性质与圆的几何性质（主要是对称性）之间存在着非常紧密的联系。例如，和单位圆相关的“勾股定理”与同角三角函数的基本关系有内在的一致性；单位圆周长为与正弦函数、余弦函数的周期为是一致的；圆的各种对称性与三角函数的奇偶性、诱导公式等也是一致的。因此，在研究三角函数时，单位圆的作用非常重要。 周期性是三角函数最重要的性质，利用周期性，我们只要研究清楚三角函数在一个最小正周期内的性质即可；除了奇偶性外，三角函数还有非常丰富的对称性，诱导公式就是三角函数对称性的体现。利用周期性、奇偶性和诱导公式等可以发现，轴上的点都是正弦函数的对称中心，而直线则都是正弦函数的对称轴。对于余弦函数、正切函数可以得到类似的结论。内容包括：角与弧度、三角函数概念和性质、同角三角函数的基本关系式、三角恒等变换、三角函数应用。 蕴含的数学思想和方法：三角函数中利用单位圆中的三角函数线、三角函数图象求三角函数定义域、解三角不等式、求单调区间、讨论方程实根的个数、比较大小等蕴含着数形结合思想。三角函数本身就是一种特殊的函数，解决三角函数问题自然离不开函数与方程的思想，体现在某些三角函数问题可用函数的思想求解参数的值（范围）问题；有些三角函数问题可以直接转化为一元二次方程求解，还有一些三角问题，依据题设条件和求角结构，适当选取三角公式联立组成方程组，以达到消元求值的目的，这是方程的思想在三角求值、证明等问题中的最佳表现。化归思想在三角函数中应用非常普遍，主要体现在：①化多角的形式为单角的形式；②化多种函数名称为一种函数名称；③化未知角为已知角；④化高次为低次；⑤化特殊为一般。转化时要特别注意问题的等价性。 ... ...