2025届浙江省金华十校高三4月模考数学试题（PDF版，含答案）

金华十校 2025 年 4 月高三模拟考试 数学参考答案 一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是 符合题目要求的. 1 2 3 4 5 6 7 8 A D B C D B C C 二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 9 10 11 ABC BC BCD 三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分. 3 1 12. 13. 3 14. 5 2 四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15.解：（1）设张某仅猜对其中一道谜语为事件M ，猜对 A谜语为事件 A，猜对 B谜语为 事件 B则 P M P AB AB P AB P AB 0.8 0.5 0.2 0.5 0.5 （2）设张某先猜 A 谜语获得的奖金为 1 元，先猜 B 谜语获得的奖金为 2 元，则 1 的取值分别是0,10,10 x， 2 的取值分别是 0, x,10 x， P 1 0 0.2， P 1 10 0.8 0.5 0.4 P 1 10 x 0.8 0.5 0.4 ， 所以 E 1 0 0.2 10 0.4 10 x 0.4 0.4x 8 P 2 0 0.5， P 2 x 0.5 0.2 0.1，P 2 10 x 0.5 0.8 0.4 ， 所以 E 2 0 0.5 0.1x 10 x 0.4 0.5x 4 - 由 E 1 E 2 得0.4x 8 0.5x 4 解得 x 40 16.解：由题知函数定义域为 0,e a e a , f ' x a ln x 1 ， . a ln x 2 （1）当 a 1时 , f x x , f ' x ln x 2 ,则函数在 0,e 1 和 e 1,1 单调递减，在1 ln x 1 ln x 1, 单调递增，则函数的极小值为 f 1 1，无极大值. 2 h x f x 1（ ）令 ， h' x f ' x a ln x 1 2 ,则函数 h x 在 0,e a 和 e a ,e1 a 单调递a a ln x 减，在 e1 a , 单调递增，极小值为 h e1 a e1 a 1 a ①若 a 0 1，当 x 0,e a 时单调递减，又 h 1 f 1 0，所以 h x 在 0,e a 有唯一零点 a x 1，当 x e a , 时， h x 1有极小值 h e1 a e1 a 0 ，所以 h x 在 e a , 无零点， a 故当 a 0 时， h x 有唯一零点. ②若 a 0 ， x 0,h x 1 0 ， x e a ,h x ，则必有 h e1 a e1 a 1 0 ，即 a a ae1 a 1 0 ，令 p a ae1 a 1，则 p' a 1 a e1 a，则 p a 的最大值为 p 1 0 ， 1 所以 e1 a 0 仅有一个解 a 1 . a 综上所述，实数 a的取值范围为 a 0 或 a 1 17.解：（1）证明：如图，连接OD，因为D为 B C的中点，所以OD BC 又因为 PO 平面 ABC，故 PO BC 所以 BC 平面 POD，则 BC PD - 1 （2）在OB上取点F ，使得BF BO，连接 EF ，则 EF / /PO 3 又 EF 平面 POC，故 EF / / 平面 POC， 又DE / / 平面 POC所以平面 EFD / / 平面 POC， 得 FD / / 平面 POC，所以FD / /OC ，则 COD FDO又 COD FOD， FOD FDO FD FO 2OD cos FOD 3所以 所以 ，则 3 4 设OD与 BC交于点G，连接 PG，则OG BC又因为 PB PC ，所以 PG BC 所以 PGO就是平面 PBC 与平面 ABC夹角 cos FOD OG 3 tan PGO PO BO 4因为 ，所以 ，所以 cos PGO 3 OB 4 OG OG 3 5 即平面 PBC与平面 ABC 3夹角的余弦值为 . 5 （2）解法二：如图，以O为坐标原点，OB,OP为 y, z轴正方向建立空间直角坐标系 设OP OB 3，则 B 0,3,0 ,P 0,0,3 ,E 0,2,1 ， 设D 3sin ,3cos ,0 ，则C 3sin 2 ,3cos 2 ,0 因为OP 0,0,3 ,OC 3sin 2 ,3cos 2 ,0 ，设平面OPC的法向量为 n1 x1, y1, z1 n1 OP 0 由 可取 n1 cos 2 , sin 2 ,0 ， n1 OC 0 又 ED 3sin ,3cos 2, 1 因 为 DE / / 平 面 POC ， 所 以 n1 ED 0 ， 即 3sin cos 2 3sin 2 cos 2sin 2 0 得 cos 3 ， 4 sin 2 3 7 ,cos 2 1 C 9 7 , 3 ,0 BC 9 7 于 是 ， 则 , 所 以 , 21 ,0 8 8 8 8 8 8 ， 又 n2 PB 0 PB 0,3, 3 ， 设 平 面 PBC 的 法 向 量 为 n2 x2 , y2 , z2 则 可 取 n2 BC 0 n2 7,3,3 ， 又平面 ABC 的一个法向量为 n3 0,0,1 ,设平面 PBC 与平面 ABC 夹角为 ，则 n2 n3 cos 3 3 ,所以平面 PBC与平面 ABC夹角的余弦值为 . n 5 52 n3 b 1 a 2 18. (1) c 5 x2 解： 由题知 ，解得 b 1 ，双曲线 E的标准方程为 y2 1 ... ...