7.4 勾股定理的逆定理 同步练习（学生版+答案版）2024-2025学年数学青岛版八年级下册

勾股定理的逆定理 如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形． 符号语言：在△ABC中， ∵a2＋b2＝c2， ∴△ABC是直角三角形，且∠C＝90°. 运用勾股定理的逆定理时：(1)不能机械地认为Rt△ABC中，边长为c的边所对的角必是直角，应是最长边所对的角是直角；(2)不要习惯性的验证a2＋b2是否等于c2，而要看最长边的平方是否等于另两边的平方和． 勾股数组 一般的，把满足a2＋b2＝c2的三个__正整数__称为勾股数组． 利用勾股定理的逆定理判定三角形形状 典例1 [2024·菏泽期末]如图，某社区有一块四边形空地ABCD，AB＝15 m，CD＝8 m，AD＝17 m．从点A修了一条垂直于BC的小路AE(垂足为E)，E恰好是BC的中点，且AE＝12 m. 典例1图 (1)求边BC的长； (2)连接AC，判断△ADC的形状． (1)利用勾股定理以及线段中点的性质即可； (2)通过计算三条边的长度，根据勾股定理的逆定理来判断三角形的形状． 解：(1)∵AE⊥BC，∴∠AEB＝90°. 在Rt△ABE中， ∵AB＝15 m，AE＝12 m， ∴BE＝＝＝9(m)． ∵E是BC的中点，∴BC＝2BE＝18(m)； (2)∵AE⊥BC，E是BC的中点， ∴AC＝AB＝15 m. ∵AD＝17 m，CD＝8 m， ∴CD2＋AC2＝AD2， ∴∠ACD＝90°， ∴△ADC是直角三角形． 变式 [2024·威海期末]△ABC的三边分别为a，b，c，下列条件不能使△ABC为直角三角形的是( D ) A．a＝b＝，c＝2 B．∠A＝∠B＋∠C C．a＝5，b＝12，c＝13 D．∠A∶∠B∶∠C＝3∶4∶5 利用勾股定理的逆定理判断两线段的位置关系 典例2 如图，已知点C是线段BD上的一点，∠B＝∠D＝90°，若AB＝3，BC＝2，CD＝6，DE＝4，AE＝. (1)求AC，CE的长； (2)求证：AC⊥CE. 典例2图 (1)根据勾股定理即可求出AC和CE的长； (2)根据勾股定理的逆定理判定即可． 解：(1)∵在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝3，BC＝2， ∴AC＝＝＝. ∵在Rt△EDC中，∠D＝90°，CD＝6，DE＝4， ∴CE＝＝＝； (2) 证明：∵AC＝，CE＝，AE＝， ∴AE2＝AC2＋CE2， ∴∠ACE＝90°，∴AC⊥CE. 变式 如图，在Rt△ABD中，∠ABD＝90°，AD＝10，AB＝8.在其右侧的同一个平面内作△BCD，使BC＝8，CD＝2　. 求证：AB∥DC. 变式图 证明：∵在Rt△ABD中，∠ABD＝90°，AD＝10，AB＝8， ∴BD＝＝＝6. ∵BC＝8，CD＝2　， ∴62＋(2　)2＝82，即BD2＋CD2＝BC2， ∴△BDC是直角三角形， ∴∠BDC＝90°，∴∠ABD＝∠BDC， ∴AB∥DC. 勾股数组的规律探究 典例3 观察下列勾股数：3，4，5；5，12，13；7，24，25；9，40，41；…，a，b，c. 根据你发现的规律，请写出： (1)当a＝19时，求b，c的值； (2)当a＝2n＋1(n为正整数)时，求b，c的值； (3)用(2)的结论判断15，111，112是否为一组勾股数，并说明理由． (1)仔细观察可发现给出的勾股数中，斜边与较大的直角边的差是1，根据此规律及勾股定理公式不难求得b，c的值； (2)根据第一问发现的规律，代入勾股定理公式中即可求得b，c的值； (3)将第二问得出的结论代入第三问中看是否符合规律，符合则说明是一组勾股数，否则不是． 解：(1)观察得给出的勾股数中，斜边与较大直角边的差是1，即c－b＝1， ∵a＝19，a2＋b2＝c2， ∴192＋b2＝(b＋1)2， ∴b＝180，∴c＝181； (2)通过观察知c－b＝1， ∵(2n＋1)2＋b2＝c2， ∴c2－b2＝(2n＋1)2，(b＋c)(c－b)＝(2n＋1)2， ∴b＋c＝(2n＋1)2， 又∵c＝b＋1， ∴2b＋1＝(2n＋1)2， ∴b＝2n2＋2n，c＝2n2＋2n＋1； (3)由(2)知，2n＋1，2n2＋2n，2n2＋2n＋1为一组勾股数， 当n＝7时，2n＋1＝15，112－111＝1， 但2n2＋2n＝112≠111， ∴15，111，112不是一组勾股数． 变式 王老师在一次“探究性学习”课中，设计了如下数表： n 2 3 4 5 … a 22－1 32－1 42－1 52－1 … b 4 6 8 10 … c 22＋1 32＋1 42＋1 52＋1 … (1)请你分别探究a ... ...