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课件网) 数学探究 用向量法研究三角形的性质 ○ 21世织纪教痘 2订世看 ,27G2@PA级 基础巩固 1.若O为△ABC内一点,||=||=||,则O 是△ABC 的 ( ) A.内心 B.外心 C.垂心 D.重心 解析:由向量模的定义知O到△ABC的三顶点的距离相等.故O 是△ABC 的外心,故选B. 答案:B 2.已知M是△ABC所在平面内的任意一点,且++=3,则N是△ABC的 ( ) A.内心 B.外心 C.重心 D.垂心 解析:因为++=3,所以(-)+(-)+(-)=0,即++=0.所以N是△ABC的重心. 答案:C 3.P是△ABC所在平面内一点,若·=·=·,则P是△ABC的 ( ) A.外心 B.内心 C.重心 D.垂心 解析:由·=·,得·-·=0,·(-)=0,即·=0, 则PB⊥CA,同理PA⊥BC,PC⊥AB,所以P为△ABC的垂心. 答案:D 4.如图所示,在△ABC中,点O是外接圆的圆心,AB=4,AC=3,则·=-. 解析:设M是边BC的中点,连接OM(图略).由于点O是△ABC的外心,则OM⊥BC.所以·=(+)·=·=(+)·(-)=(-)=-. B级 能力提升 5.O为平面上一定点,A,B,C是平面上的不共线的三个点,动点P满足=+λ(+),λ∈[0,+∞),则点P的轨迹一定通过△ABC的 ( ) A.内心 B.外心 C.重心 D.垂心 解析:如图所示,设D为BC的中点,由向量的加法法则可得+=2.依题意知=2λ.因为λ∈[0,+∞),所以P,A,D三点共线.又AD为△ABC的中线,故点P的轨迹一定通过△ABC的重心,故选C. 答案:C 6.若非零向量与满足+·=0,且·=, 则△ABC为 ( ) A.三边均不相等的三角形 B.直角三角形 C.等腰非等边三角形 D.等边三角形 解析:因为非零向量与满足（+）·=0,即A的平分线垂直于BC,所以 AB=AC. 因为cos A=·=,所以A=,所以△ABC为等边三角形. 答案:D C级 挑战创新 7.O是平面上的一定点,A,B,C是平面上不共线的三个点,动点P满足=+λ+,λ∈[0,+∞),则点P的轨迹一定通过△ABC的 ( ) A.外心 B.内心 C.重心 D.垂心 解析: 因为是向量的单位向量.设与方向上的单位向量分别为e1和e2,且-=,则原式可化为=λ(e1+e2),由菱形的基本性质知AP平分∠BAC,那么在△ABC 中,AP平分∠BAC,则知选B. 答案:B
