A级 基础巩固 1.在△ABC中,设=c,=a,=b,若c·(c+a-b)<0,则△ABC是 ( ) A.直角三角形 B.锐角三角形 C.钝角三角形 D.无法确定其形状 解析:由已知,得·(+-)=·2<0,所以A为钝角.所以△ABC为钝角三角形. 答案:C 2.在△ABC中,若(++)=,则点G是△ABC的 ( ) A.内心 B.外心 C.垂心 D.重心 解析:因为(++)=,所以-+-+-=3,化简得++=0,故点G为△ABC的重心. 答案:D 3.已知△ABC的重心是点G,CA的中点为点M,且A,M,G三点的坐标分别是(6,6),(7,4),,,则||为 ( ) A.4 B. C. D.2 解析:设B(x1,y1),C(x2,y2), 由条件可知即所以C(8,2). 因为所以所以B(2,0), 所以||=|BC|===2. 答案:D 4.在四边形ABCD中,=(12,2),=(x,y),=(-4,-6).若∥,且⊥,则四边形ABCD的面积为 ( ) A.16 B.64 C.32 D.128 解析:=++=(x+8,y-4),=+=(x+12,y+2),=+=(x-4,y-6). 因为∥,且⊥,=-, 所以 解得或 所以||=16,||=8或||=8,||=16, 所以S四边形ABCD=||·||=64.故选B. 答案:B 5.如图所示,在平行四边形ABCD中,AD=1,AB=2,对角线BD=2,求对角线AC的长. 解:设=a,=b,则=a-b,=a+b. 因为||=|a-b|====2, 所以5-2a·b=4,所以a·b=. 因为||2=|a+b|2=a2+2a·b+b2=1+4+2a·b=6, 所以||=,即AC=. B级 能力提升 6.在△ABC所在的平面内有一点P,满足++=,则△PBC与△ABC的面积之比是 ( ) A. B. C. D. 解析:由++=,得+++=0,即=2,所以点P是CA边上的三等分点(靠近点A),如图所示. 故==. 答案:C 7.在Rt△ABC中,点D是斜边AB的中点,点P为线段CD的中点,则= ( ) A.2 B.4 C.5 D.10 解析:将△ABC各边及PA,PB,PC均用向量表示, 则 = = = =-6=42-6=10. 答案:D 8.△ABC是等腰直角三角形,∠B=90°,D是BC边的中点,BE⊥AD,延长BE交AC于点F,连接DF,求证:∠ADB=∠FDC. 证明:如图所示,建立直角坐标系, 设A(2,0),C(0,2),则D(0,1), 所以=(-2,1),=(-2,2). 设F(x,y),则=(x,y),由⊥, 得·=0,即-2x+y=0, ① 因为点F在AC上,则∥. 因为=(-x,2-y), 所以2×(-x)-(-2)×(2-y)=0, 即x+y=2. ② 由①②联立得x=,y=, 所以F,,=,. 因为=(0,1),所以·=. 因为·=||||cos∠FDC=cos ∠FDC, 所以cos∠FDC=. 因为cos∠ADB===, 所以cos∠ADB=cos∠FDC,故∠ADB=∠FDC. C级 挑战创新 9. 如图,若四边形ABCD为平行四边形,EF∥AB,AE与BF相交于点N,DE与CF相交于点M.求证:MN∥AD. 证明:因为EF∥AB,所以△NEF∽△NAB.设=μ(μ≠1),则=μ,所以=(μ-1).同理,由EF∥CD,可得=(μ-1).所以=-=-=(μ-1)(-)=(μ-1).因为μ≠1,所以MN∥AD.(
课件网) 第六章 平面向量及其应用 ○ 21世织纪教痘 2订世看 ,27G2@P 读 已知直角三角形，AC=m,BC=n,向量方法求解 想 建立平面直角坐标系，用坐标表示向量，利用共线向量 定理和向量模的坐标公式求解 (1)如图所示，以C为坐标原点，分别以边CB,CA所 在的直线为x轴、y轴建立平面直角坐标系，则 点A(0,m),B(n,0). c(o) F B x 因为D为AB的巾点，所以D(台，空)， yCnG2m2牛m，AB=√m十 1 1 所以|CD= IAB,即CD AB ②因为E为CD的中点，所以点E( ,）】 设点，0则A-（一m）a-(，-m. 因为A,E,F三点共线， 所以=AA正，即(x,一m)=A(冬，-子m） 算 TA, 4 「A= 所以 解得 3 m=一 mi, 所以F(行0小A正=（行，-m 即AF的长度为3√n+9m. 1思想方法：数形结合 2规律方法：用向量法求长度的两种方法 思 方法一：利用图形特点选择基底，将向量用基底表示，用 公式a2=a2求解. 方法二：建立平面直角坐标系，确定相应向量的坐标，代入 公式，即若a=(x,y),则a=√Jx十y ... ...
