7.3.2 离散型随机变量的方差 导学案（含答案）

人教A版高二(下)数学选择性必修第三册7.3.2离散型随机变量的方差-导学案 1.通过实例,理解取有限个值的离散型随机变量的方差、标准差的概念和意义. 2.会求离散型随机变量的方差、标准差. 3.会利用离散型随机变量的方差、标准差解决一些实际问题. 重点：理解离散型随机变量的方差、标准差的概念及其求解 难点：利用离散型随机变量的方差、标准差解决一些实际问题. 1.离散型随机变量取值的方差 一般地，若离散型随机变量X的概率分布列为： X x1 x2 … xi … xn P p1 p2 … pi … pn 则称 为随机变量X的方差，有时也记为Var(X). 称为随机变量X的标准差。 2、离散型随机变量ξ的期望与方差的性质 名词 数学期望 方差 定义 E(ξ)=ξ1p1+ξ2p2+…+ξnpn D(ξ)=[ξ1-E(ξ)]2p1+[ξ2-E(ξ)]2p2+…+[ξn-E(ξ)]2pn 性质 (1)E(a)=a(a为常数) (2)E(aξ)=aE(ξ)(a≠0) (3)E(aξ+b)=aE(ξ)+b(a,b为常数,且a≠0) (1)D(a)=0(a为常数) (2)D(aξ)=a2D(ξ)(a≠0) (3)D(aξ+b)=a2D(ξ)(a,b为常数,且a≠0) 数学 意义 E(ξ)是一个常数,它反映了随机变量取值的平均水平,亦称均值 D(ξ)是一个常数,它反映了随机变量取值的稳定与波动、集中与离散的程度 问题探究 随机变量的均值是一个重要的数字特征，它反映了随机变量取值的平均水平或分布的“集中趋势” .因为随机变量的取值围绕其均值波动，而随机变量的均值无法反映波动幅度的大小，所以我们还需要寻找反映随机变量取值波动大小的数字特征. 探究1：从两名同学中挑出一名代表班级参加射击比赛。根据以往的成绩记录，甲、乙两名同学击中目标靶的环数X和Y的分布列如下表1和表2所示：如何评价这两名同学的射击水平？ 探究2：怎样定量到留离散型随机变量取值的离散程度 问题1.某人射击10次，所得环数分别是：1,1,1,1,2,2,2,3,3,4；则所得的平均环数是多少？ 问题2.某人射击10次,所得环数分别是:1,1,1,1,2,2,2,3,3,4；则这组数据的方差是多少？ 问题3：方差的计算可以简化吗？ 问题4：离散型随机变量X加上一个常数，方差会有怎样变化？离散型随机变量X乘以一个常数，方差又有怎样的变化？它们和期望的性质有什么不同？ 二、典例解析 例1：抛掷一枚质地均匀的骰子，求掷出的点数X的方差。 方差的计算方法 方差的计算需要一定的运算能力,在随机变量X2的均值比较好计算的情况下,运用关系式D(X)=E(X2)-[E(X)]2不失为一种比较实用的方法.另外注意方差性质的应用,如D(aX+b)=a2D(X)(a≠0). 跟踪训练1 已知η的分布列为 (1)求η的方差及标准差; (2)设Y=2η-E(η),求D(Y). η 0 10 20 50 60 P 例2：投资A、B两种股票，每股收益的分布列分别如表1和表二所示： 收益X/元 -1 0 2 概率 0.1 0.3 0.6 表1 收益X/元 0 1 2 概率 0.3 0.4 0.3 表2 （1）投资哪种股票的期望收益大？ （2）投资哪种股票的风险较高？ 利用均值和方差的意义解决实际问题的步骤 1.比较均值.离散型随机变量的均值反映了离散型随机变量取值的平均水平,因此,在实际决策问题中,需先计算均值,看一下谁的平均水平高. 2.在均值相等或接近的情况下计算方差.方差反映了离散型随机变量取值的稳定与波动、集中与离散的程度.通过计算方差,分析一下谁的水平发挥相对稳定. 3.下结论.依据均值和方差做出结论. 跟踪训练2. A、B两个投资项目的利润率分别为随机变量X1和X2，根据市场分析， X1和X2的分布列分别为 X1 2% 8% 12% X2 5% 10% P 0.2 0.5 0.3 P 0.8 0.2 求：(1)在A、B两个项目上各投资100万元， Y1和Y2分别表示投资项目A和B所获得的利润，求方差D(Y1)和D(Y2)； (2)根据得到的结论，对于投资者有什么建议？ 1．给出下列四个命题： ①离散型随机变量X的均值E(X)反映了X取值的平均值； ②离散型随机变量X的方差D(X)反映了X取值的平均水平； ③离散型随机变量X ... ...