新蔡县第一高级中学2024-2025学年高三下学期4月份月考数学试题 一、单选题 1．已知全集，，，则等于（ ）． A． B． C． D． 2．已知，为虚数单位，若为实数，则（ ） A． B．1 C． D．4 3．设，为单位向量，在方向上的投影向量为，则（ ） A．1 B． C． D． 4．把5个人安排在周一至周五值班，要求每人值班一天，每天安排一人，甲乙安排在不相邻的两天，乙丙安排在相邻的两天，则不同的安排方法数是（ ） A．96种 B．60种 C．48种 D．36种 5．若函数是减函数，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 6．过直线上一点作圆的两条切线，，切点分别为A，B，当直线，关于对称时，线段的长为（ ） A．4 B． C． D．2 7．在平面直角坐标系xOy中，圆O是圆心为O的单位圆，绕原点将x轴的正半轴逆时针旋转角交圆O于A点，绕原点将x轴的正半轴顺时针旋转角交圆O于B点，若A点的纵坐标为，，则B点到y轴的距离为（ ） A． B． C． D． 8．已知函数，为实数，的导函数为，在同一直角坐标系中，与的大致图象不可能是（ ） A． B． C． D． 二、多选题 9．已知正数满足，下列结论中正确的是（ ） A．的最小值为 B．的最小值为2 C．的最小值为 D．的最大值为1 10．已知数据的平均数为10，方差为1，且，则下列说法正确的是（ ） A．数据的方差为4 B．数据的平均数为17 C．数据的平均数为10，方差大于1 D．若数据的中位数为分位数为，则 11．函数.若存在，使得为奇函数，则实数的值可以是（ ） A． B． C． D． 三、填空题 12．已知三棱锥的四个顶点在球的球面上，平面，是边长为的正三角形，、、分别是、、的中点，且，则球的表面积为 . 13．在数列中，已知，且，若，则n取值的集合为 ．（用列举法表示） 14．如图，圆锥底面半径为，母线PA＝2，点B为PA的中点，一只蚂蚁从A点出发，沿圆锥侧面绕行一周，到达B点，其最短路线长度为 ，其中下坡路段长为 ． 四、解答题 15．某项编程技能比赛分为两轮：第一轮初赛，赛题由6道基础编程题和4道中级编程题组成，基础编程题每题答对得5分，中级编程题每题答对得10分，初赛至少得60分才能进入第二轮复赛，否则淘汰；第二轮复赛，赛题由2道中级编程题和2道高级编程题组成，中级编程题每题答对得10分，高级编程题每题答对得20分．所有的题答错都不扣分．已知甲同学能答对每道基础编程题，中级编程题每题答对的概率为，高级编程题每题答对的概率为，且各题答对与否互不影响． (1)求甲同学初赛被淘汰的概率； (2)已知甲同学第一轮初赛得满分70分，求甲同学两轮比赛所得总分X的分布列及期望． 16．已函数，其图象的对称中心为. (1)求的值； (2)判断函数的零点个数. 17．如图，在三棱锥中，，. (1)证明：平面； (2)若是棱上一点且，求二面角的大小. 18．已知正项数列的前项积为，且满足. (1)求证：数列为等比数列； (2)求数列的前项和. 19．已知为坐标原点，双曲线的焦距为，且经过点. (1)求的方程： (2)若直线与交于，两点，且，求的取值范围： (3)已知点是上的动点，是否存在定圆，使得当过点能作圆的两条切线，时（其中，分别是两切线与的另一交点），总满足？若存在，求出圆的半径：若不存在，请说明理由. 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B C D D B C C C AC AB 题号 11 答案 BD 12． 13． 14． 15．（1）若甲同学初赛不被淘汰，则他答对中级编程题的数量至少为， 则甲同学初赛不被淘汰的概率为， 所以甲同学初赛被淘汰的概率为； （2）由题意可取， 则， ， ， ， ， ， ， 所以的分布列为： 故. 16．（1）因为函数的图象关于点中心对称，故为奇函数， 从而有，即， ， ， 所以，解得， 所以； （2）由（1）可知，，，， ①当时，，，所以在上单调递增， ，， 函数有且仅有一个零点； ②当时，， ... ...
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