2024-2025学年湖北省楚天教科研协作体高二下学期期中考试数学试卷（含答案）

2024-2025学年湖北省楚天教科研协作体高二下学期期中考试 数学试卷 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.已知点关于直线对称的点为，则直线的方程为( ) A. B. C. D. 2.若焦点在轴上的椭圆的离心率为，则的值为( ) A. B. C. D. 3.已知为等差数列的前项和，若，，则的值为( ) A. B. C. D. 4.点是曲线上任意一点，则点处切线倾斜角的取值范围为( ) A. B. ， C. D. ， 5.若双曲线的两渐近线的夹角为，实轴长为且焦点在轴上，则该双曲线的标准方程为( ) A. B. 或 C. D. 或 6.已知，且，则下列结论错误的是( ) A. B. C. D. 若，则 7.已知数列的前项和为，前项的积为，若，当取最小值时，( ) A. B. C. D. 或 8.设，，，则、、的大小关系为( ) A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 9.已知直线，圆则下列命题正确的有( ) A. 直线过定点 B. 若直线过点，则 C. 存在实数，使得直线与圆相切 D. 若直线与圆相交于，两点，则，两点间的最短距离为 10.对任意实数，有则下列结论正确的是( ) A. B. 的最大值为 C. D. 11.已知函数存在两个极值点，，且，设的零点个数为，方程的实根个数为，则( ) A. B. 的取值为、、 C. D. 的取值为、、 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.已知圆和圆，则两圆的公共弦长为 ． 13.某高中为开展新质课堂，丰富学生的课余生活，开设了若干个社团。高二年级有名同学打算参加“书法协会”、“舞动青春”、“红袖添香”和“羽乒协会”四个社团。若每名同学必须参加且只能参加个社团且每个社团至多两人参加，则这个同学中至多有人参加“舞动青春”社团的不同方法数为 用数字作答 14.已知且，集合和集合，若，则实数的取值范围为 ． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15.本小题分 已知的展开式中的第项、第项和第项的二项式系数成等差数列． 求的值． 记，求被除的余数． 16.本小题分 已知数列满足， 证明：数列是等比数列． 设，求． 17.本小题分 已知函数． 当时，求曲线在处的切线方程 若函数有最小值，且的最小值大于，求实数的取值范围． 18.本小题分 已知以为焦点的抛物线的顶点为原点，点是抛物线的准线上任意一点，过点作抛物线的两条切线，，其中，为切点，设直线，的斜率分别是和． 求抛物线的标准方程及其准线方程． 求证：为定值． 求面积的最小值． 19.本小题分 已知函数． 证明：当时，． 设，令． (ⅰ)讨论的单调性． (ⅱ)若存在两个极值点，，证明：． 参考答案 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14. 15.解：展开式的第项，第项，第项的二项式系数分别为：， 所以，， 解得或舍， 所以的值为； 的通项为， 当时，， 时，， 能被整除， ，被除的余数为， 所以被除的余数为． 16.解：由已知得，于是， 所以， 又， 是首项为，公比为的等比数列； 由知，， ， ， ． 17.解：当时，， ， ，． 故曲线在处的切线方程为， 即． 因为． 所以． 当时，，为增函数，此时函数没有最小值，不符合题意； 当时，令，则，令，则， 所以在上为减函数，在上为增函数， 故的最小值为， 由题意可得：，即， 因为，所以，即， 令，由对数函数和一次函数的单调性可知在上为增函数， 且， 所以的解集为． 所以的取值范围是． 18.解：由题意知抛物线的标准方程为， ，， 抛物线的标准方程为，准线方程为． 设点的坐标为，， 由题意知过点与抛物线相切的直线的斜率存在且不为， 设切线的斜率为，则切线的方程为， 联立方程组， 消去，得， ，得． 又，为方程的两根， 为定值． 设直线的方程为，， 联立方程组， 整理得， ，． ， ， ... ...