2024-2025学年广东省东莞市东莞外国语学校高一下学期第一次月考数学试卷 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.已知，，，则实数( ) A. B. C. D. 2. 已知，则( ) A. B. C. D. 3.在中，已知，，且，是方程的两个根，，则( ) A. B. C. D. 4.符合下列条件的三角形有且只有一个的是( ) A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 5.如图，在四边形中，，设，，则等于( ) A. B. C. D. 6.已知中，角，，的对边分别为，，，若，则的形状为( ) A. 等腰三角形 B. 直角三角形 C. 等边三角形 D. 等腰或直角三角形 7.如图，平行四边形中，，垂足为，且，则值为( ) A. B. C. D. 8.在中，角均在边上，且为中线，为平分线，若，则的面积等于( ) A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 9.已知向量，，，则( ) A. B. 向量，的夹角为 C. D. 在方向上的投影向量是 10.已知为坐标原点，点，，，，则( ) A. B. C. D. 11.设是平面内共始点的三个非零向量，且两两不共线，，则下列命题中正确的是( ) A. 关于的方程可能有两个不同的实数解 B. 关于的方程至少有一个实数解 C. 关于的方程最多有一个实数解 D. 关于的方程若有实数解，则三个向量的终点不可能共线 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.已知，是两个单位向量，若在上的投影向量为，则与的夹角为 ． 13.在中，若，则角等于 ． 14.如图，曲线为函数的图象，其与轴交于，，三点，则 ； 若，过作一直线交曲线于，两点，则的最小值为 ． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15.本小题分 已知复数为虚数单位，在复平面上对应的点在第四象限，且满足． 求实数的值； 若复数是关于的方程且的一个复数根，求的值． 16.本小题分 已知，，是同一平面内的三个向量，其中． 若，且与方向相反，求的坐标； 若，且与垂直，求与的夹角． 17.本小题分 记的内角，，的对边分别为，，，已知，． 求 若的面积为，求． 18.本小题分 如图，在平行四边形中，为的中点，，与，分别相交于，两点． 若，求的值 若，，求 若，求的最小值． 19.本小题分 射影几何学中，中心投影是指光从一点向四周散射而形成的投影，如图，光从点出发，平面内四个点，，，经过中心投影之后的投影点分别为，，，对于四个有序点，，，，若，，定义比值叫做这四个有序点的交比，记作． 当时，称，，，为调和点列，若，求的值 证明： 已知，点为线段的中点，，，求， 参考答案 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14. 15.解：依题点在第四象限，则，由，得，即，所以， 由知，，由复数是关于的方程的根， 得， 整理得，而， 因此，解得所以 16.解：因为，而与方向相反， 所以． 又因为，所以，解得， 因此，即的坐标为． 因为与垂直， 所以，即． 又因为，所以，而， 因此，解得． 又因为与的夹角为， 所以，且， 解得，因此． 17.解：因为，所以由余弦定理得， 而，因此． 又因为，所以，即，解得， 而，因此． 由知：，，因此． 因为的面积为，所以，即，解得． 又因为由正弦定理得，，所以， 即， 即，解得舍去． 18.解：因为为的中点， 所以 ， 所以，，故 因为，， 由余弦定理得， 即， 解得， 因为，所以， 因为为的中点，且， 所以， 因为，， 所以， 所以， 所以， 又因为，所以， 因为，所以 因为， 所以， 因为，所以， 所以， 则， 所以， 所以 ， 当且仅当时，取到最小值． 故的最小值为． 19.解：由知，两点分属线段内外分点， 不妨设，，则，， 由，知，故， 即，所以 由题意，在，，，中， ， ， 则 又，在，，，中， ， ， 则， 又，，，， 由可得， ... ...
